Hornafall

Hornafall er fall, sem tekur einingalausa stærð sem breytu, en breytuna má túlka sem horn. Hornaföllinn eru sínus (sin), kósínus (cos), tangens (tan), kótangens (cot), sekant (sec) og kósekant (csc).

Hornaföll eiga sér andhverfur, sem eru stundum sameiginlega kölluð arcusarhornaföll. Þau föll heita sömu nöfnum og venjulegu hornaföllin, en með forskeytið „arcus“, sem er latneska orðið fyrir „horn“: Arcus sinus (arcsin), arcus cosinus (arccos), arcus tangens (arctan), og svo framvegis. Stundum eru þessi föll rituð sem $\sin ^{-1}$ , $\cos ^{-1}$ og svo framvegis þar sem að $f^{-1}$ (x) er viðtekið tákn fyrir andhverfa fallið af f(x). Hornaföllin sem nefnd eru hér að framan eru skilgreind fyrir rétthyrnd hnitakerfi, en hýperbólísk hornaföll eru nauðsynleg í hýperbólísku rúmi, svo sem í Riemann rúmi, ásamt í mörgum sértilfellum í örsmæðareikningi og öðrum fögum. Enn fremur eru sérstakar hornafallareglur sem notaðar eru til þess að mæla horn á yfirborði kúlu, en þær reglur tilheyra kúluhornafræði.

Skilgreiningar

Til eru margar skilgreiningar á hornaföllum. Fyrsta skilgreiningin á þeim var samband á milli hvassra horna í rétthyrndum þríhyrningi og hlutfalla á milli lengda hliða hans. Þannig er sínus af hvössu horni rétthyrnds þríhyrnings skilgreindur sem hlutfallið á milli mótlægrar skammhliðar og langhliðar, kósínus af hvössu horni í rétthyrndum þríhyrningi skilgreindur sem hlutfallið á milli aðlægrar skammhliðar og langhliðar og tangens af horni skilgreindur sem hlutfallið á milli mótlægrar skammhliðar og aðlægrar skammhliðar eða sem hlutfallið á milli sínuss og kósínuss sama horns.

Almennari skilgreining er að skilgreina föllin sínus og kósínus sem hnit punkts á ferli einingarhrings, þannig að hornið sem miðað er við myndist á milli jákvæða hluta x-ássins og radíuss til punktsins. Sé hornið kallað v, þá eru hnit punktsins (x,y)=(cosv,sinv). Með þessu móti er hægt að skilgreina hornaföll fyrir hvaða horn sem er, ekki bara hvöss horn eins og ofangreind skilgreining gerir, heldur einnig rétt horn og gleið og reyndar einnig horn stærri en 180° án nokkurra efri marka.

Hér sést einingarhringurinn þar sem búið er að teikna horn að stærðinni t, punkturinn á hringnum hefur hnitið (cos t, sin t)

Sínus af x eða sin(x) er y-hnit þess punkts sem lendir á einingarhringnum (sjá mynd af einingarhring). Sínus er í raun hlutfall af einum þar sem hæsta gildi sínusar er 1 og lægsta -1. Þetta hlutfall er hægt að finna með því að finna hlutfallið á milli mótlægrar skammhliðar við hornið x og langhliðar þríhyrningsins (sem er alltaf 1 í einingarhringnum).

$\sin {x}={\frac {motlaeg\ skammhlid}{langhlid}}$

Kósínus af x eða cos(x) er x-hnit þess punkts sem lendir á einingarhringnum (sjá mynd af einingarhring). Kósínus er í raun hlutfall af einum þar sem hæsta gildi á kósínus er 1 og lægsta er -1. Þetta hlutfall er hægt að finna með því að finna hlutfallið á milli aðlægrar skammhliðar við hornið x og langhliðar þríhyrningssins (sem er alltaf 1 í einingarhringnum).

$\cos {x}={\frac {adlaeg\ skammhlid}{langhlid}}$

Tangens er hallatala snertils við einingarhringinn og fæst hún á sambærilegan máta og hallatala jöfnu línu, þar sem miðja einingarhringsins er (0,0) og punkturinn sem snertillinn lendir í er í (cos x, sin x) þá fæst að hallatala línunnar sem fer um þessa punkta er:

$\tan {x}={\frac {\sin {x}-0}{\cos {x}-0}}={\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}$ þar sem hallatala línu sem fer um punkta $(x_{1},y_{1})$ og $(x_{2},y_{2})$ er $h={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ .

og þá sést að:

$\tan {x}={\frac {\frac {motlaeg}{langhlid}}{\frac {adlaeg}{langhlid}}}={\frac {motlaeg}{langhlid}}*{\frac {langhlid}{adlaeg}}={\frac {motlaeg}{adlaeg}}$