Notandi:Spm/Stærðfræði

Evklíð kennir stærðfræði. Hluti af myndinni *Skólinn í Aþenu* eftir Raphael.

Svið stærðfræðinnar

Stærð — Breyting — Bygging — Rúm — Strjála

Námsvísir

Stærðfræði er oft skilgreind sem rökfastar rannsóknir á tölum, mynstrum, ferlum, breytingum og rúmi. Einnig segja sumir að stærðfræði sé þekking sú sem leidd er út með rökréttum hætti frá ákveðnum fyrirframgefnum sannindum sem kallaðar eru frumsendur. Þeir sem starfa við stærðfræðilegar rannsóknir og hagnýtingu á áður útleiddri stærðfræði eru kallaðir stærðfræðingar.

Stærðfræði er ein helsta undirstöðugreinin í öllum náttúruvísindum, verkfræði og hagfræði. Hvergi hefur þó orðið jafn sterk samsvörun milli stærðfræðinnar og hins raunverulega heims og í eðlisfræði. Stærðfræðingar gera þó margar rannsóknir á stærðfræðilegum fyrirbærum sem hafa litla merkingu í raunveruleikanum, en aftur á móti hafa slíkar rannsóknir oft leitt til gífurlegra framfara í öðrum vísindagreinum. Aldrei er unnt að spá fyrir um notagildi niðurstaðna stærðfræðilegra rannsókna og hefur oft komið í ljós hagnýtt notagildi einhverrar stærðfræðilegrar niðurstöðu eða setningar, löngu eftir að hún var leidd út (sönnuð).

Saga stærðfræðinnar

Stærðfræði hefur fylgt manninum frá örófi alda, en elstu skráðu heimildir sýna mikla notkun stærðfræði í Súmeru og síðar Babýlóníu. Á báðum þessum slóðum og reyndar víðar er vitað að menn þekktu pí, hornasummu þríhyrnings og veldisreikning, svo að fátt eitt sé nefnt. Babýlóníumenn héldu skrár yfir landareignir og búfénað, stunduðu verslun, og skiluðu jafnvel mjög frumstæðum skattaskýrslum. Þessi iðja krafðist skilnings á tölum og einföldum reikniaðgerðum sem giltu um tölurnar, svo sem samlagningu, frádrætti, margföldun og deilingu.

Þó eru til ennþá eldri heimildir um stærðfræði; löngu áður en að ritlistin kom til. Fornleifafræðingar hafa fundið mannvistarleifar í suðurhluta Afríku sem benda til þess að reikningar og tímamælingar (byggðar á staðsetningu stjarna) hafi verið stundaðar um 70.000 f. Kr. Ishango beinið, sem fannst við upphaf Nílar (í norðausturhluta Kongó), varðveitir elstu þekktu heimild um runu frumtalna, ásamt nokkrum jafnhlutfallarunum, en beinið er frá um 20.000 f.Kr. Fornegyptar hafa gert teikningar af einföldum rúmfræðilegum fyrirbærum um 5.000 f.Kr.

Indversk stærðfræði

Yngri heimildir eru til frá Indlandi. Eftir hrun siðmenningarinnar í Indus dalnum um 1.500 f.Kr. komu fram ýmsir stærðfræðingar. Málfræðingurinn Panini lagði fram málfræðireglur á 5. öld f.Kr. fyrir sanskrít með hætti sem líkist nútímalegu stærðfræðitáknmáli, og hafði táknmálið hans það mikla fágun að það er hægt að búa til Turing vélar með því. Í dag er Panini-Backus málskilgreiningarformið gjarnan notað til þess að skilgreina formleg mál í tölvum, sem er til marks um þá fágun.

Indverski stærðfræðingurinn Pingala, sem var uppi á 4. eða 3. öld f.Kr. rannsakaði það sem við í dag þekkjum sem Fibbonacci rununa, ásamt Pascalsþrýhyrningnum og tvíundarkerfi. Hann notaðist við einfaldan punkt til þess að tákna núll, en það er eitt af elstu dæmum um að núll hafi fengið sérstakt tákn.

Bakshali handritið, sem var ritað einhvern tímann á milli 200 f.Kr. og 200 e.Kr. sýnir meðal annars lausnir á línulegum jöfnuhneppum með allt að fimm óþekktum stærðum, lausn annars stigs jöfnu, geometrískar raðir og jafnvel neikvæðar tölur, sem þóttu vafasamar í margar aldir þar á eftir. Einnig virðast indverskir stærðfræðingar frá Jaina tímabilinu hafa þekkt mismunandi stærðir á óendanleika, mengjafræði, logra, umraðanir og margt fleira.

Grísk og hellenísk stærðfræði

Saga grískrar stærðfræði hófst um 500 f.kr. þegar að Þales og Pýþagóras fluttu þekkingu Babýlóníumanna og Egypta til Grikklands. Þales notaði rúmfræði til þess að reikna hæðir píramída og fjarlægð skipa frá ströndu. Talið er að Pýþagóras hafi lagt fram pýþagórasarregluna, sem er kennd við hann, og að hann hafi notað algebraískar reglur til þess að reikna út pýþagórískar þrenndir.

Evklíð, sem bjó í Alexandríu á Egyptalandi, lagði fram fimm frumsendur um rúmfræði sem lýstu rúmfræðilegum fyrirbærum í ósmækkanlegum grundvallaratriðum, og var þetta fyrsta tilraunin til þess að gera slíkt. Á 19. öld uppgötvaði Bernhard Riemann að fimmta frumsendan væri ekki algild, og upp frá því hefur rúmfræði verið kölluð ýmist evklíðsk eða óevklíðsk.

Kínversk stærðfræði

Í Kína árið 212 f.Kr. tilskipaði keisarinn Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) svo fyrir að allar bækur skyldu brenndar. Þó svo að þessari tilskipun hafi ekki verið fylgt til hlítar, þá hefur lítið varðveist um sögu kínverskrar stærðfræði. Það að Kínverjar skrifuðu á bambus gerði lítið til þess að bæta úr því.

Heimildir um talnaritun hafa fundist í skjaldbökuskeljum, en Kínverjar notuðust við tugakerfi sem var þannig að tölur voru ritaðar ofan frá og niður, með tákni hverrar einingar, ásamt tugveldismargföldunartákni inn á milli. Þannig var talan 123 rituð með því að skrifa táknið fyrir 1, svo táknið fyrir hundrað, svo táknið fyrir 2, svo táknið fyrir tug, loks táknið fyrir 3. Á sínum tíma var þetta fullkomnasta talnaritunarkerfi heims, en það gaf færi á útreikningum með reiknitækjum á borð við suan pan og abakus.

Elsta stærðfræðitengda ritið sem lifði af bókabrennuna var I Ching, frá 12. öld f.Kr., sem notast við 64 umraðanir strika sem voru ýmist heil eða brotin. Þýski stærðfræðingurinn Gottfried Wilhelm von Leibniz hafði mikin áhuga á þessu riti, og telja sumir að hugmynd hans að tvíundarkerfinu (sem notast eingöngu við tölustafina núll og einn) hafi komið þaðan.

Kínverjar uppgötvuðu ýmislegt sem Evrópa fór lengi vel á mis við, á borð við neikvæðar tölur, tvíliðuregluna, notkun fylkjareiknings til þess að leysa línuleg jöfnuhneppi, og kínversku leifaregluna. Einnig þekktu Kínverjar Pascalsþríhyrninginn og þríliður löngu áður en að þær þekktust í Evrópu.

Persnesk og Arabísk stærðfræði

Blaðsíða úr bókinni Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala eftir al-Khwarizmi, sem algebra dregur nafn sitt af.

Íslamska heimsveldið sem ríkti á 8. öld náði yfir miðausturlönd, norðurhluta Afríku, Íberíuskaga og þann hluta Indlands sem nú er Pakistan varðveitti og þýddi mikið af grískum stærðfræðiritum, sem þá höfðu gleymst víða í Evrópu. Einnig þýddu þeir indversk stærðfræðirit, sem höfðu mikil áhrif, og urðu innblástur að gerð arabískra talna, sem við notum í dag.

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi ritaði inngangsrit að því sem í dag þekkist sem algebra, og er það nafn dregið af nafni bókarinnar. Einnig er hið erlenda nafn reiknirita (algorithm) dregið af nafni al-Khwarizmi sjálfs. Algebra þróaðist talsvert í höndum Abu Bakr al-Karaji (953-1029), og Abul Wafa þýddi verk Díófantósar, og fann síðar upp tangens hornafallið.

Evrópsk endurreisnarstærðfræði

Í Evrópu á endurreisnartímanum var flest nútíma grunnskólastærðfræði þekkt: samlagning, frádráttur, margföldun og deiling. Þó var mjög tyrfið táknkerfi, en rómverskar tölur voru notaðar, og orð í stað tákna. Núll var óþekkt, engin jafnaðarmerki, og engin sérstök tákn fyrir óþekktar breytur.

Robert of Chester þýddi rit Al-Khwarizmis yfir á latínu á 12. öld, og síðar voru eldri verk Aristótelesar enduruppgötvuð. Viðhorf endurreisnartímans ýtti undir nýjan áhuga á stærðfræði. Á þrettándu öld var Fibbonnaci fyrstur evrópubúa til þess að leggja eitthvað nýtt til stærðfræðinnar síðan á tímum Eratosthenesar; um þúsund ára bil. Það var þó ekki fyrr en á 16. öld sem að Evrópa lagði eitthvað til stærðfræðinnar sem var hvergi áður þekkt í heiminum.

Fyrst þessarra uppgötvanna var almenn lausn á þriðja stigs jöfnum, sem Scipione del Ferro er sagður hafa fundið um 1510, en hún var fyrst birt í Ars magna. Lodovico Ferrari kom stuttu seinna með almenna lausn á fjórða stigs jöfnum. Þess má geta að engin almenn lausn er til við fimmta stigs jöfnum, en það hefur verið sannað með Galois setningunni, sem er mun yngri.

17. öld

Sautjánda öld var upphafið að þeirri stærðfræðilegu- og vísindalegu þekkingu sem við höfum í dag, og allnokkrar breytingar áttu sér stað á hugsunarhætti og lifnaðarháttum fólks.

Pólverjinn Nikúlás Kópernikus lagði fram sólmiðjukenninguna, og ítalinn Galileo Galilei tók eftir að tungl Júpíters gengu í sporbraut umhverfis hana. Danski stjörnufræðingurinn Tycho Brahe safnaði að sér ótrúlegu magni stærðfræðilegra upplýsinga sem snéru að staðsetningu plánetna á himnum. Johannes Kepler, sem var nemandi hjá Tycho Brahe, byrjaði að vinna úr upplýsingunum, en í Skotlandi hófst Napier Lávarður handa við að búa til lógratöflur eftir að hafa fundið upp náttúrlega lógrann. Kepler tókst síðan að búa til stærðfræðileg lögmál fyrir gang himintunglanna. Fransmaðurinn Rene Descartes fann upp analytíska rúmfræði sem gaf mönnum færi á að teikna tunglganginn inn á graf, og síðar gerði englendingurinn Isaac Newton uppgötvannir í eðlisfræði sem útskýri hvers vegna pláneturnar hreyfðust á þann hátt sem raunin var, og hann fann upp stærðfræðigreiningu (samtímis Leibniz) sem nota mátti til þess að leiða út lögmál Keplers út frá þyngdarlögmálinu sem Newton setti sjálfur fram.

18. öld

19. öld

20. öld

Greinar stærðfræðinnar

Stærð

$1,2,\ldots$	$-1,0,1,\ldots$		${\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},0.125,\ldots$
Náttúrlegar tölur	Heiltölur		Ræðar tölur
$\pi ,e,{\sqrt {2}},\ldots$		$i,3i+2,e^{i\pi /3},\ldots$
Rauntölur		Tvinntölur

Stærðir eru í vissum skilningi kjarni stærðfræðinnar, en mælingar á stærðum og aðferðir við að gera slíkar mælingar eru grundvallaratriði í skilningi á stærðfræði. Margar tegundir talna eru til, og margir flokkar þeirra, og jafnframt eru ýmsir eiginleikar sem slíkir flokkar taka.

Tölur — Náttúrlegar tölur — Heiltölur — Ræðar tölur — Óræðar tölur — Rauntölur — Tvinntölur — Hýpertvinntölur — Fertölur — Firðir — Átttölur — Raðtölur — Fjöldatölur — P-legar heiltölur — Heiltöluraðir — Stærðfræðilegir fastar — Talnaheiti — Óendanleiki — Stærðfræðilegir fastar — Áhugaverðar tölur — Grunnur

Breyting

$36\div 9=4$
Reikningur	Örsmæðareikningur	Vigurgreining
$\int 1_{S}\,d\mu =\mu (S)$
Stærðfræðigreining
${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}y={\frac {d}{dx}}y+c$
Deildarjöfnur	Hreyfikerfi	Óreiðukenningin

Stærðfræðinni hefur löngum verið beitt til þess að lýsa breytingu, en margar aðferðir eru til til þess að lýsa breytingum. Þessi fræði urðu hve öflugust með tilkomu örsmæðareiknings á 17. öld. Í nútímanum er varla til það svið vísindanna sem reiðir sig ekki á örsmæðareikningi og þar með stærðfræðigreiningu til þess að lýsa þeim breytingum sem verða á umhverfi okkar.

Talnareikningur — Stærðfræðigreining — Raunfallagreining — Tvinnfallagreining — Fellagreining — Víðáttur — Vigurgreining — Töluleg greining — Diffurjöfnur — Hreyfikerfi — Óreiðukenningin — Listi af föllum

Bygging


Hrein algebra	Talnafræði	Grúpufræði

Grannfræði	Ríkjafræði	Raðfræði

Stærðfræðileg fyrirbæri hafa ákveðna eiginleika; tölur hafa röðun, mengi svipaðra hluta eiga sér reikniaðgerðir, og fyrirbæri eru oft í grennd við hvert annað. Bygging er grundvallaratriði í stærðfræði, en þar er fengist við skilgreiningar á stærð, samhverfni og öðrum mynstrum.

Algebra — Hrein Algebra — Talnakenningin — Algebraísk rúmfræði — Grúpufræði — Einungar — Stærðfræðigreining — Grannfræði — Línuleg algebra — Málfræði — Netafræði — Allsherjaralgebra — Ríkjafræði

Rúm


Rúmfræði		Hornafræði

Grannfræði	Diffurrúmfræði		Brotarúmfræði

Tengsl einstakra eiginda, fjarlægðir á milli þeirra, og það hvernig þeir breytast með afstöðu til hvers annars er eitt elsta og jafnframt víðfemasta rannsóknarefni stærðfræðinnar, og nýjar niðurstöður eru að líta dagsins ljós enn í dag.

Grannfræði — Rúmfræði — Hornafræði — Algebraísk rúmfræði — Diffurrúmfræði — Diffurgrannfræði — Algebraísk grannfræði — Línuleg algebra — Brotarúmfræði

Strjál stærðfræði


Mengjafræði		Reiknanleiki
$[1,2,3][1,3,2]$ $[2,1,3][2,3,1]$ $[3,1,2][3,2,1]$
Fléttufræði	Dulmálsfræði		Netafræði

Strjál stærðfræði er samheiti yfir það svið stærðfræðirannsókna sem snýst um aðferðir sem eiga við um hluti sem geta eingöngu tekið á sig fastákveðin, aðgreind gildi. Margar af merkustu leyndardómum stærðfræðinnar falla undir þessu sviði, þó svo að lausnir þeirra séu oftar en ekki algjörlega upp á aðrar greinar stærðfræðinnar komnar.

Talningarfræði — Hversdagsleg Mengjafræði — Zermelo-Fraenkel mengjafræði — Líkindafræði — Reiknikenningin — Fléttufræði — Endanleg stærðfræði — Dulmálsfræði — Netafræði — Leikjafræði — Frumtölur — Frumþáttun

Heimfærð stærðfræði

Heimfærð stærðfræði notast við alla stærðfræðilega þekkingu til þess að leysa raunveruleg verkefni.

Stærðfræðileg eðlisfræði — Aflfræði — Vökvaaflfræði — Töluleg greining — Bestun — Líkindafræði — Tölfræði — Hagfræði — Leikjafræði — Stærðfræðileg líffræði — Dulmálsfræði — Upplýsingafræði

Mikilvægar setningar

Sjá listi yfir stærðfræðilegar setningar.

Frumsendur og setningar eru þær reglur sem stærðfræðingar notast við í öllum sínum fræðum. Sumar setningar eru meira notaðar en aðrar, og sumar hafa heillað stærðfræðinga og aðra í margar aldir.