Poisson-dreifing

Poisson-dreifing, nefnd eftir franska stærðfræðingnum Siméon Denis Poisson, er stakræn líkindadreifing sem segir til um líkur á því að fjöldi hendinga gerist á ákveðnu bili í tíma/rúmi, ef þær hafa þekkta meðaltíðni og eru óháðar fyrri tilvikum. Einnig er hægt að nota Poisson-dreifingu fyrir fjölda tilvika á annars háttar bilum s.s. lengd, flatarmáli eða rúmmáli.

Massafall Lárétti ásinn merkir hér vísinn k, fjölda staka. Fallið er einungis skilgreint fyrir heiltölugildi á k.
Dreififall Lárétti ásinn merkir hér vísinn k, fjölda staka. Fallið er ósamfellt á heiltölugildum k, en flatt annars staðar.
Stikar	λ > 0 (Rauntala)
Stoð	$k\in \mathbb {N} \cup \{0\}$
Massafall	${\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}$
Dreififall	${\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}$ eða $e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\$
Væntigildi	$\lambda$
Miðgildi	$\approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor$
Tíðasta gildi	$\lceil \lambda \rceil -1,\lfloor \lambda \rfloor$
Dreifni	$\lambda$
Skeifni	$\lambda ^{-1/2}$
Reisn	$\lambda ^{-1}$
Óreiða	$\lambda [1-\log(\lambda )]+e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}$ (for large $\lambda$) ${\frac {1}{2}}\log(2\pi e\lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-{}$ $\qquad {\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)$
vægisframleiðandi fall	$\exp(\lambda (e^{t}-1))$
Kennifall	$\exp(\lambda (e^{it}-1))$
líkindaframleiðandi fall	$\exp(\lambda (z-1))$

Skilgreining

Stakræn slembibreyta X er sögð hafa Poisson-dreifingu með stuðul λ > 0, ef fyrir k = 0, 1, 2, ... ef þéttifall X gefið sem:

$\!f(k;\lambda )=\Pr(X=k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}$

Jákvæða rauntalan λ er jöfn væntigildi X og er einnig dreifni X.

$\lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X).$

Hægt er að nota Poisson-dreifingu fyrir kerfi með miklum fjölda mögulegra gilda, þar sem hvert og eitt er sjaldgæft. Það eru minnst sjö aðferðir til að sanna þéttifall Poisson-dreifingar.

Eiginleikar

Meðaltal

• Meðaltal Poisson-dreifðra slembibreyta er jöfn λ. Sama á við um dreifni.
• Dreifnistuðull er $\textstyle \lambda ^{-1/2}$, en tvístrunarstuðullinn er 1.
• Meðalfrávik um meðaltal er

$\operatorname {E} |X-\lambda |=2\exp(-\lambda ){\frac {\lambda ^{\lfloor \lambda \rfloor +1}}{\lfloor \lambda \rfloor !}}.$

Tilvísanir

  Þessi tölfræðigrein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.