Ræðar tölur

Talnamengi í stærðfræði
$\mathbb {N}$	Náttúrlegar tölur
$\mathbb {Z}$	Heiltölur
$\mathbb {Q}$	Ræðar tölur
$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$	Óræðar tölur
$\mathbb {R}$	Rauntala
$\mathbb {C}$	Tvinntölur
$\mathbb {H}$	Fertölur
$\mathbb {O}$	Áttundatölur
$\mathbb {S}$	Sextándatölur

Ræðar tölur er talnamengi þeirra talna, sem tákna má sem hlutfall tveggja heilla talna þar sem seinni talan er ekki núll. Mengi þetta er táknað með stafnum $\mathbb {Q}$ sem stendur fyrir „Quotient“ eða hlutfall á íslensku og er skilgreint með mengjaskilgreiningarhætti á eftirfarandi hátt:

$\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} \land n\in \mathbb {Z} \land n\neq 0\right\}$

Ræðu tölurnar eru þétt hlutmengi í mengi rauntalna. Það þýðir að sérhver rauntala er markgildi samleitinnar runu af ræðum tölum. Með öðrum orðum þýðir það í hversu lítilli grennd um hverja rauntölu sem vera skal má finna ræðar tölur.

Teljanleiki

Mengi ræðra talna er teljanlegt, sem unnt er að ímynda sér að hægt sé að stilla ræðu tölunum upp í röð. Formlegar þýðir það að unnt að smíða átæka vörpun frá $\mathbb {Q}$ til $\mathbb {N}$. Þessi merkilegi eiginleiki blasir þó ekki við. Eitt af vandamálunum er að sérhver ræð tala hefur óendanlega margar jafngildar framsetningar, t.d. er $2/3=4/6=8/12=\cdots$.

Ein leið til að telja það hlutmengi ræðu talnanna sem er hlutfall tveggja jákvæðra heiltalna er með dúfustélsaðferð Cantors:

${\begin{matrix}{\frac {1}{1}}&\rightarrow &{\frac {1}{2}}&&{\frac {1}{3}}&\rightarrow &{\frac {1}{4}}&\\&\swarrow &&\nearrow &&\swarrow &&\\{\frac {2}{1}}&&{\frac {2}{2}}&&{\frac {2}{3}}&&\ddots &\\\downarrow &\nearrow &&\swarrow &&&&\\{\frac {3}{1}}&&{\frac {3}{2}}&&\ddots &&&\\&\swarrow &&&&&&\\{\frac {4}{1}}&&\ddots &&&&&\\\downarrow &&&&&&&\\\vdots &&&&&&&\end{matrix}}$

Upptalningin okkar á þessu hlutmengi í $\mathbb {Q}$ væri þá eftirfarandi:

1 ↔ ${\frac {1}{1}}$, 2 ↔ ${\frac {1}{2}}$, 3 ↔ ${\frac {2}{1}}$, 4 ↔ ${\frac {3}{1}}$, 5 ↔ ${\frac {2}{2}}$, 6 ↔ ${\frac {1}{3}}$, o.s.frv.

Glöggur lesandi sér þó að með þessu erum við að margnúmera sumar ræðu talnanna, t.d. er ${\frac {1}{1}}={\frac {2}{2}}$. Við getum þó lagað vörpunina okkar með því að númera tvær jafngildar ræðar tölur aðeins einu sinni. Í okkar tilfelli myndum við t.d. sleppa að varpa ${\frac {2}{2}}$ í 5.

Að vísu höfum við með þessu ekki sýnt fram á að allt mengið $\mathbb {Q}$ sé teljanlegt, en hugmyndin er sú sama. Eins og með svo margt annað í stærðfræðinni ráðumst við ekki beint á þetta vandamál með því að smíða vörpun með flókinni forskrift, heldur er vandamálið leyst í smærri og einfaldari verkefnum. Til að sýna fram á teljanleika $\mathbb {Q}$ myndum við fyrst sýna fram á teljanleika $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ með dúfustélsaðferðinni. Með því að sýna að sammengi tveggja teljanlegra mengja sé teljanlegt fæst svo að þar sem $\mathbb {N}$ og eðlilega $-\mathbb {N}$ eru teljanleg að $\mathbb {Z}$ er teljanlegt. Þá má nota sér þessar stoðir til að sýna að $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ sé teljanlegt og því $\mathbb {Q}$.

Tengt efni

• Almenn brot
• Rauntölur
• Stofnbrot, almenn brot þar sem teljarinn er einn og nefnarinn er jákvæð heiltala, til dæmis ${\tfrac {1}{2}}$, ${\tfrac {1}{45}}$ eða ${\tfrac {1}{7}}$
• Óræðar tölur

Tenglar

• „Hvað eru heilar og ræðar tölur?“. Vísindavefurinn.