Combinazione lineare

In matematica, una combinazione lineare è un'operazione principalmente usata nell'ambito dell'algebra lineare. Una combinazione lineare di alcuni elementi di uno spazio vettoriale è un'espressione del tipo:

$a_{1}v_{1}+\ldots +a_{n}v_{n}$

dove i $v_{i}$ sono elementi dello spazio vettoriale e gli $a_{i}$ sono scalari. Il risultato di questa combinazione è un nuovo elemento dello spazio. Questa nozione molto generale si applica in vari contesti: si possono scrivere ad esempio combinazioni lineari di vettori nel piano o nello spazio, di matrici, di polinomi o di funzioni.

Definizioni

Combinazione lineare

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$. Siano $v_{1},\ldots ,v_{n}$ vettori di $V$. Una combinazione lineare di questi è il vettore individuato dalla seguente scrittura:

$a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\ldots +a_{n}v_{n}$

dove $a_{1},\ldots ,a_{n}$ sono scalari, cioè elementi di $K$. Gli scalari nella precedente espressione possono essere scelti arbitrariamente e sono detti coefficienti della combinazione lineare.

Combinazione affine e convessa

Se il campo $K$ è il campo $\mathbb {R}$ dei numeri reali e i coefficienti sono tutti non-negativi, cioè:

$a_{i}\geq 0$

per ogni $i$, la combinazione è chiamata positiva.

Quando i coefficienti hanno come somma 1:

$a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=1$

la combinazione è detta affine. Una combinazione lineare sia positiva che affine è detta combinazione convessa. Entrambe queste nozioni sono utili in geometria affine, per definire le nozioni di coordinate affini e coordinate baricentriche.

Proprietà

Unicità della combinazione

In genere, cioè per una generica scelta dei vettori $v_{i}$, il vettore:

$v=a_{1}v_{1}+\ldots a_{n}v_{n}$

non determina univocamente la combinazione lineare, cioè la sequenza dei suoi coefficienti: lo stesso $v$ può essere il risultato di combinazioni lineari differenti degli stessi vettori $v_{1},\ldots ,v_{n}$.

Se i vettori sono indipendenti, la combinazione lineare è però unica.

Sottospazio generato

I vettori $v$ che si ottengono come combinazioni lineari di $n$ vettori fissati, al variare degli scalari $a_{1},\ldots ,a_{n}$, formano un sottospazio vettoriale di $V$, chiamato sottospazio generato. Si indica generalmente con:

$\mathrm {Span} (v_{1},\ldots ,v_{n}):=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\ |\ a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}$

Generalizzazioni

Le definizioni di combinazione lineare e span lineare possono essere generalizzate dagli spazi vettoriali ai moduli o agli anelli. Ad esempio, si può parlare di combinazione lineare $am+bn$ di due numeri interi $m$ e $n$, dove $a$ e $b$ sono coefficienti interi.

Bibliografia

• (EN) David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, 3rd, Addison–Wesley, 2006, ISBN 0-321-28713-4.
• (EN) Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, 4th, Brooks Cole, 2006, ISBN 0-03-010567-6.
• (EN) Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 2nd, Springer, 2002, ISBN 0-387-98258-2.

Voci correlate

• Sottospazio generato
• Dipendenza lineare
• Dimensione (spazio vettoriale)
• Estrazione di una base
• Combinazione lineare di orbitali atomici
• Combinazione convessa
• Insieme di generatori

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Linear Combination, su MathWorld, Wolfram Research.