Distanza euclidea

In matematica, la distanza euclidea è una distanza tra due punti, in particolare è una misura della lunghezza del segmento avente per estremi i due punti.

Usando questa distanza, lo spazio euclideo diventa uno spazio metrico (più in particolare risulta uno spazio di Hilbert). La letteratura tradizionale si riferisce a questa metrica come metrica pitagorica.

Distanza unidimensionale

Per due punti in uno spazio unidimensionale, $P=(p_{x})$ e $Q=(q_{x})$ , la distanza euclidea è calcolata come:

{\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}}}=|p_{x}-q_{x}|.

Distanza bidimensionale

Per due punti in uno spazio bidimensionale, $P=(p_{x},p_{y})$ e $Q=(q_{x},q_{y})$ , la distanza euclidea è calcolata come:

{\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}.

Approssimazione 2D per applicazioni informatiche

Un'approssimazione rapida della distanza in 2D basata su un intorno ottagonale può essere calcolata come segue. Sia $dx=|p_{x}-q_{x}|$ (valore assoluto) e $dy=|p_{y}-q_{y}|$ . Se $dy>dx$ , la distanza approssimata è $0,41dx+0,941246dy$ ; se $dy<dx$ , si invertono i due valori.

La differenza dalla distanza esatta è tra il −6% e il +3%; più dell'85% di tutte le possibili differenze sono tra il −3% e il +3%.

Il seguente codice Maple implementa questa approssimazione e produce un grafico con la circonferenza reale in nero e l'intorno ottagonale approssimato in rosso:

fasthypot :=
  unapply(piecewise(abs(dx)>abs(dy), 
                    abs(dx)*0.941246+abs(dy)*0.41,
                    abs(dy)*0.941246+abs(dx)*0.41),
          dx, dy):
hypot := unapply(sqrt(x^2+y^2), x, y):
plots[display](
  plots[implicitplot](fasthypot(x,y) > 1, 
                      x=-1.1..1.1, 
                      y=-1.1..1.1,
                      numpoints=4000),
  plottools[circle]([0,0], 1),
  scaling=constrained,thickness=2
);

Esistono altri tipi di approssimazione. Tutte cercano generalmente di evitare le radici quadrate, dato che sono costose in termini computazionali, e sono fonte di diversi errori: rapporto di velocità. Usando la notazione di cui sopra, l'approssimazione dx + dy − (1/2)×min(dx,dy) genera un errore tra lo 0% e il 12% (attribuito ad Alan Paeth). Un'approssimazione migliore in termini di errore RMS è dx + dy − (5/8)×min(dx,dy), per la quale è stimato un errore tra il −3% e il 7%.

È bene notare che se è necessario confrontare distanze (per le quali si vuole solo sapere ad esempio qual è la maggiore, e non l'effettiva differenza) non è necessario calcolare la radice quadrata di tutte se si tiene conto delle seguenti proprietà:

Se $A^{2}$ è maggiore di $B^{2}$ , allora anche la distanza $A$ sarà maggiore della distanza $B$ .
Controllare se la distanza $A$ è maggiore della distanza $2B$ è come confrontare $A^{2}$ con $(2B)^{2}$ , $(4B)^{2}$ e così via.

Un esempio del primo caso potrebbe essere quello di provare a determinare in quale punto della griglia di un sistema CAD/CAM 2D potrebbe ricadere (snap to) un punto arbitrario. Questa non è realmente un'approssimazione, comunque, dato che il risultato è esatto.

Distanza tri-dimensionale

Per due punti in tre dimensioni, $P=(p_{x},p_{y},p_{z})$ e $Q=(q_{x},q_{y},q_{z})$ , la distanza è calcolata come:

{\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}+(p_{z}-q_{z})^{2}}}.

Approssimazioni 3D per applicazioni informatiche

Come indicato nella sezione sull'approssimazione 2D, quando si confrontano distanze (per le quali si vuole solo sapere ad esempio qual è la maggiore, e non l'effettiva differenza) non è necessario calcolare la radice quadrata di tutte. Infatti vale la regola che se $A^{2}$ è maggiore di $B^{2}$ , allora anche la distanza $A$ sarà maggiore della distanza $B$ .

Ad esempio, se si cerca la minima distanza tra due superfici in uno spazio tridimensionale, usando un sistema CAD/CAM 3D, si potrebbe pensare di costruire una griglia di punti in ogni superficie e confrontare la distanza di ogni singolo punto nella prima superficie da ogni punto della seconda. Non è necessario conoscere la distanza effettiva, ma solo quale distanza è la minore. Una volta individuati i due punti più vicini, si può creare una griglia più piccola attorno a questi punti in ogni superficie e ripetere il procedimento. Dopo diverse iterazioni si riesce a valutare quali sono i punti più vicini in assoluto, e di questi calcolare la radice quadrata per ottenere un'ottima approssimazione della distanza minima tra le due superfici.

Distanza n-dimensionale

In generale, per due punti in uno spazio $n$ -dimensionale, $P=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})$ e $Q=(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})$ , la distanza euclidea è calcolata come:

{\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}{(p_{k}-q_{k})^{2}}}}.

Voci correlate

Collegamenti esterni

Distanza, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN) Eric W. Weisstein, Distance, su MathWorld, Wolfram Research.

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