Equazione ciclotomica

L'equazione ciclotomica è l'equazione che si deve risolvere per cercare le radici $n$-sime dell'unità.

Si cercano le soluzioni dell'equazione

$z^{n}-1=0,$

nel campo dei numeri complessi, o equivalentemente di $z^{n}=1$, cioè si cercano le $n$ radici $n$-sime dell'unità.

Ad un punto della circonferenza unitaria nel piano di Argand-Gauss risulta associato il numero complesso

$z=\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta },$

dove si è aggiunta la notazione esponenziale dei numeri complessi.

Le n radici dell'unità sulla circonferenza unitaria.

Considerando la circonferenza unitaria di centro $O(0,0)$ e raggio unitario nel piano complesso, le radici dell'equazione giacciono sulla circonferenza unitaria e la dividono in $n$ archi uguali.

Poiché le radici dell'equazione $z^{n-1}+z^{n-2}+z^{n-3}+\ldots +z+1=0,$ insieme alla radice $z=1$ sono le $n$ radici dell'unità e dividono la circonferenza unitaria in $n$ parti uguali, l'equazione precedente è detta equazione ciclotomica ("che divide la circonferenza").

Si ricordi che le $n$ radici n-sime dell'unità, cioè i numeri $R,R^{2},R^{3},\ldots ,R^{n}=1$ formano un gruppo moltiplicativo, dal momento che soddisfano le seguenti condizioni:

1. chiusura: $R^{a}R^{b}=R^{a+b}=R^{c}$ dove $a$, $b$, $c$ sono interi minori di $n;$
2. associatività: $R^{a}(R^{b}R^{c})=(R^{a}R^{b})R^{c}=R^{a+b+c};$
3. elemento neutro: $R^{n}$ poiché $R^{a}R^{n}=R^{a};$
4. elemento inverso di $R^{a}$ è $R^{n-a}.$

Voci correlate

• Radici dell'unità
• Polinomio ciclotomico
• Eptadecagono