Equazione trinomia
Le equazioni trinomie sono quelle riconducibili alla forma[1]:
dove è un intero positivo, , e sono numeri reali (oppure complessi) e .
Descrizione
modificaParametrizzando come segue:
si può riscrivere l'equazione in termini di :
Risolvendo quest'equazione quadratica (detta equazione risolvente o ausiliaria) e sostituendo nella relazione precedente è possibile trovare facilmente le soluzioni cercate.
1. Caso in cui è pari.
- Se la risolvente ammette due soluzioni positive distinte e allora l'equazione trinomia ammette le quattro soluzioni reali e (che si riducono a tre se una soluzione della risolvente è nulla).
![{\displaystyle \pm {\sqrt[{n}]{y_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71833921decf6a2b706e21304aa04bc51b73fa1f)
![{\displaystyle \pm {\sqrt[{n}]{y_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/863ffa15ff2ac358cb98108b326332d4267e9452)
- Se la risolvente ammette due soluzioni discordi, l'equazione trinomia ammette due soluzioni reali, corrispondenti alle due radici n-esime reali della soluzione positiva.
- Se la risolvente ammette una soluzione reale allora la trinomia ammette due soluzioni se una se nessuna se
- Se la risolvente non ammette soluzioni reali, lo stesso dicasi per l'equazione originaria.
2. Caso in cui è dispari.
- Se la risolvente ammette due soluzioni distinte e allora l'equazione trinomia ammette le due soluzioni reali e .
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{y_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fce5da34ef93ec7a774f7b85a068a7ff00a35aef)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{y_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/216c7fdc944db247b34588b2acd3851a5e65730f)
- Se la risolvente ammette una soluzione reale allora la trinomia ammette la soluzione
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{y_{1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1bbc7b44336644401bfc85e95f9276c5d4036bc)
- Se la risolvente non ammette soluzioni reali, lo stesso dicasi per l'equazione originaria.
Soluzioni complesse
Nel campo dei numeri complessi se e sono le due soluzioni della risolvente, allora le soluzioni sono date da[2]:
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z_{1}}}e^{\frac {2\pi k}{n}},\qquad {\text{con }}k=0,1,\ldots ,n-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/027b0655b358b7176cabca0737f3d093513c08ca)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z_{2}}}e^{\frac {2\pi k}{n}},\qquad {\text{con }}k=0,1,\ldots ,n-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e2a464b0d28ec7b349ed2260822ac786a59f7a)
Note
modifica- ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. p.99
- ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. pp.464-466
Bibliografia
modifica- Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.
- Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.
