Forma differenziale

In geometria differenziale e nel calcolo differenziale a più variabili, una forma differenziale è un particolare oggetto che estende la nozione di funzione a più variabili.

Su una $n$-varietà differenziabile, ad esempio un aperto dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$, una forma differenziale $\omega$ ha una dimensione $k$ minore o uguale a $n$. Per questa ragione, viene anche indicata brevemente come $k$-forma. Nel caso $k=0$, la forma $\omega$ è un'ordinaria funzione. In generale, la proprietà che caratterizza $\omega$ è la possibilità di effettuare l'integrale di $\omega$ su un qualsiasi oggetto geometrico $\Gamma$, di analoga dimensione $k$, di una generica $n$-varietà differenziabile. Il risultato di questa integrazione è indicato con

$\int _{\Gamma }\omega$

Pertanto, una 1-forma è integrabile su una curva, una 2-forma su una superficie, e così via.

Le 1-forme sono di fondamentale importanza in molti settori dell'analisi matematica, e in particolare in analisi complessa.

Definizione

La nozione di forma differenziale può essere introdotta in modi diversi.

In molti contesti, per utilizzare le forme differenziali è sufficiente basarsi su una definizione simile a quella di polinomio: una forma differenziale è semplicemente una scrittura formale di un certo tipo. Si definiscono quindi operazioni come quella di somma, prodotto e integrale su un insieme opportuno.

Le forme differenziali possono però essere definite in modo più intrinseco usando l'algebra lineare ed i concetti di tensore e fibrato tangente. In questo modo le forme risultano definite in contesti più ampi: ad esempio, il loro dominio non è necessariamente un aperto di $\mathbb {R} ^{n}$, ma una qualsiasi varietà differenziabile.

Definizione come scrittura formale

Sia $A$ un aperto di $\mathbb {R} ^{n}$. Sia $k$ un intero con

$0\leqslant k\leqslant n.$

Una $k$-forma differenziale è una scrittura del tipo:

$\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}$

dove

$a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}:A\to \mathbb {R}$

è una funzione differenziabile e:

$\wedge$

è chiamato prodotto wedge o prodotto esterno, da non confondere con il prodotto vettoriale $\times$, che viene talvolta indicato con lo stesso simbolo del prodotto wedge e chiamato anch'esso prodotto esterno, ma che non gode delle stesse proprietà. In particolare, il prodotto wedge è associativo, il prodotto vettoriale no. A volte, per brevità, i simboli $\wedge$ sono omessi.

Esempi

Una 0-forma è semplicemente una funzione differenziabile definita su $A$.
Una 1-forma in $\mathbb {R} ^{n}$ si scrive come

$\omega =a_{1}(x_{1},...,x_{n})dx_{1}+\ldots +a_{n}(x_{1},...,x_{n})dx_{n},\,\!$

dove le $a_{i}$ sono opportune funzioni differenziabili. Per esempio le scritture seguenti sono 1-forme definite su $\mathbb {R} ^{2}$.

$\omega _{1}=2dx-3dy,\quad \omega _{2}=e^{x}dx,\quad \omega _{3}=xydx-y^{2}dy.$

dove nel primo esempio, i coefficienti sono funzioni costanti.
Una 2-forma in $\mathbb {R} ^{3}$ si scrive come

$\omega =a(x,y,z)dx\wedge dy+b(x,y,z)dy\wedge dz+c(x,y,z)dx\wedge dz.$

Per esempio la scrittura seguente è una 2-forma su $\mathbb {R} ^{3}$:

$\omega =2dx\wedge dy-xzdy\wedge dz.$

In generale una $n$-forma su $\mathbb {R} ^{n}$ si scrive sempre usando un unico addendo

$\omega =a(x_{1},...,x_{n})dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$

dove $a(x_{1},...,x_{n})$ è una funzione differenziabile.

Definizione come tensore

Una $k$-forma è una sezione liscia della $k$-esima algebra esterna del fibrato cotangente di una varietà differenziabile $M$:

$\omega :M\rightarrow \Lambda ^{k}(T^{*}(M)).$

In altre parole, per ogni punto $x$ di $M$ è data una funzione multilineare antisimmetrica

$\omega (x)\colon \underbrace {T_{x}M\times \cdots \times T_{x}M} _{k}\to \mathbb {R}$

dove $T_{x}M$ è lo spazio tangente a $M$ in $x$. La funzione $\omega (x)$ varia in modo liscio (cioè è differenziabile infinite volte) al variare di $x$. Equivalentemente, $\omega$ è un campo tensoriale che associa ad ogni punto $x$ di $M$ un tensore antisimmetrico di tipo $(0,k)$.

Ad esempio, una 1-forma è un campo tensoriale di tipo $(0,1)$, cioè una sezione del fibrato cotangente.

Aperti dello spazio euclideo

Se $M$ è un insieme aperto di $\mathbb {R} ^{n}$, in ogni punto lo spazio tangente $T_{x}(M)$ è identificato con $\mathbb {R} ^{n}$. La base canonica per $\mathbb {R} ^{n}$ induce quindi una base per lo spazio vettoriale $\Lambda ^{k}((\mathbb {R} ^{n})^{*})$ del tipo

${\mathcal {B}}={\big \{}dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\ |\ 1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n{\big \}}$

dove l'elemento $dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}$ rappresenta una particolare funzione multilineare antisimmetrica. Quindi l'elemento $\omega (x)$ è descritto univocamente come combinazione lineare di elementi di questa base

$\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}$

tramite dei coefficienti

$a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)$

che variano in modo liscio rispetto a $x$. La definizione qui introdotta coincide quindi con quella formale descritta precedentemente.

Ad esempio, se $k=1$ allora

$\Lambda ^{1}((\mathbb {R} ^{n})^{*})=(\mathbb {R} ^{n})^{*}$

è lo spazio duale dei funzionali lineari su $\mathbb {R} ^{n}$ e ${\mathcal {B}}$ è la base duale $dx_{1},\ldots ,dx_{n}$ della base canonica. Una 1-forma associa ad ogni punto $x$ un funzionale lineare.

Carte

Se $M$ è una varietà qualsiasi, fissata una carta intorno ad un punto $x$, ogni $k$-forma $\omega$ è rappresentata come sopra. La rappresentazione dipende ovviamente dalla carta scelta.

Operazioni algebriche

Somma e prodotto per scalare

Due $k$-forme possono essere sommate, dando luogo ad una nuova $k$-forma. Una $k$-forma può inoltre essere moltiplicata per uno scalare. Con queste operazioni l'insieme delle $k$-forme su un aperto $A$ forma uno spazio vettoriale.

Prodotto esterno

Il prodotto esterno

$\omega \wedge \eta$

di una $k$-forma $\omega$ e di una $h$-forma $\eta$ è una $(k+h)$-forma. L'operazione di prodotto è definita svolgendo il prodotto usando le usuali relazioni fra somma e prodotto presenti in un anello, quali la proprietà distributiva del prodotto con la somma e la proprietà associativa del prodotto esterno. Per definizione, il prodotto esterno non è però commutativo ma anticommutativo; vale cioè la relazione seguente:

$dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}\,\forall i,\,j$

La proprietà anticommutativa implica che

$dx_{i}\wedge dx_{i}=0.$

I coefficienti dei $dx_{i}$ però commutano fra loro e con i $dx_{i}$. Ad esempio, se

$\omega =xdy-ydx,\quad \eta =xdx\wedge dz$

sono una 1-forma e una 2-forma su $\mathbb {R} ^{3}$, il loro prodotto esterno è

$\omega \wedge \eta =(xdy-ydx)\wedge (xdx\wedge dz)=x^{2}dy\wedge dx\wedge dz-xydx\wedge dx\wedge dz=-x^{2}dx\wedge dy\wedge dz.$

Esiste una versione del prodotto esterno nel caso in cui $\omega$ e $\eta$ siano definiti come tensori. Tale definizione sfrutta il prodotto tensoriale $\otimes$, ma non è ad esso equivalente. Ad esempio, nel caso in cui $\omega$ e $\eta$ sono due 1-forme, è definita nel modo seguente

$\omega \wedge \eta ={\frac {1}{2}}(\omega \otimes \eta -\eta \otimes \omega ).$

Nel caso generale la definizione è un po' più complicata:

$\omega _{1}\wedge \dots \wedge \omega _{k}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}(\operatorname {sgn} \sigma )\omega _{\sigma 1}\otimes \dots \otimes \omega _{\sigma k}.$

Proprietà

Il prodotto wedge è associativo: per questo motivo si possono omettere le parentesi nella scrittura.

Il prodotto è distributivo rispetto alla somma (sia a destra che a sinistra):

$h\wedge (f+g)=h\wedge f+h\wedge g.$

L'anticommutatività usata nella definizione si estende al prodotto di due forme qualsiasi di tipo $k$ e $h$, con un segno che però dipende dal prodotto $kh$:

$f\wedge g=(-1)^{kh}g\wedge f.$

Derivata di una forma differenziale

La derivata di una $k$-forma è una $(k+1)$-forma. Questa è chiamata a volte differenziale o derivata esterna. La derivata esterna $d\omega$ di una $k$-forma differenziale

$\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}$

è la $(k+1)$-forma

$d\omega =\sum _{i=1}^{n}\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}{\frac {\partial a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}}{\partial x_{i}}}(x)dx_{i}\wedge dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}.$

Proprietà

La derivata esterna di una 0-forma, cioè di una funzione differenziabile, coincide con il differenziale della funzione.

La derivazione esterna è un'operazione lineare. In altre parole,

$d(a\omega +b\mu )=a\cdot d\omega +b\cdot d\mu$

dove però $a,b$ sono scalari e non funzioni. Rispetto al prodotto esterno si comporta nel modo seguente:

$d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{{\rm {deg\,}}\omega }(\omega \wedge d\eta ).$

Infine, la proprietà forse più importante della derivazione è la seguente

$d^{2}=0$

che segue dal teorema di Schwarz.

Forme chiuse ed esatte

Una forma differenziale $\omega$ è chiusa se la sua derivata esterna è nulla:

$d\omega =0$

Ad esempio, ogni forma avente coefficienti costanti è chiusa.

Una $k$-forma $\omega$ è invece esatta se esiste una $(k-1)$-forma $\eta$ tale che

$d\eta =\omega .$

La forma $\eta$ è detta primitiva di $\omega$.

Le forme differenziali chiuse e le forme differenziali esatte sono rispettivamente nel nucleo e nell'immagine della derivata esterna.

Poiché $d^{2}\eta =0$, ogni forma esatta è chiusa. D'altra parte, esistono forme chiuse che non sono esatte: l'esistenza di queste forme dipende fortemente dalla topologia dell'aperto $A$ di definizione. A tal proposito, il lemma di Poincaré stabilisce che se $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ è un sottoinsieme aperto e contraibile allora ogni p-forma differenziale chiusa e liscia definita su $X$ è una forma differenziale esatta per ogni intero $p>0$.

Forme lineari

Una 1-forma differenziale

$\omega =a_{1}dx_{1}+\ldots +a_{n}dx_{n},$

è chiusa se e solo se vale l'uguaglianza

${\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}$

per ogni $i,j$.

Forme lineari e domini semplicemente connessi

La condizione di chiusura è di tipo locale (alcune uguaglianze devono essere verificate puntualmente), mentre quella di esattezza è di tipo globale (esistenza di una primitiva definita su tutto l'aperto $A$). La differenza fra le due condizioni dipende dalle differenze fra proprietà locali e globali dell'aperto $A$, ovvero dalla sua topologia.

Se $A$ è semplicemente connesso, allora ogni 1-forma chiusa è esatta. Questo accade ad esempio se $A$ è la parte interna di un disco o di un più generale insieme convesso o stellato in $\mathbb {R} ^{n}$. In questo caso le proprietà topologiche globali non sono molto differenti da quelle locali.

D'altra parte, la forma seguente

$\omega ={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx-{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy$

definita nell'aperto del piano

$A=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$

è chiusa ma non esatta. L'aperto $A$ non è semplicemente connesso: ha un "buco", ed il suo gruppo fondamentale è $\mathbb {Z}$. Questa forma è nota come "vortice", per la particolare forma assunta dai vettori del campo vettoriale associato.

Forme lineari e analisi complessa

Le 1-forme nel piano $\mathbb {R} ^{2}$ sono uno strumento fondamentale dell'analisi complessa. Dopo aver identificato $\mathbb {R} ^{2}$ con il piano complesso $\mathbb {C}$, è possibile definire una 1-forma complessa

$f(z)dz=f(x+iy)dx+if(x+iy)dy$

a partire da una qualsiasi funzione

$f:A\to \mathbb {C} .$

definita su un aperto $A$ del piano complesso. Si tratta di un'usuale 1-forma, avente però come coefficienti delle funzioni a valori complessi invece che reali. Tale strumento si rivela utile per il fatto seguente: se $f$ è una funzione olomorfa su un aperto $A$ del piano, allora la forma $f(z)dz$ risulta essere chiusa. Inoltre $f(z)dz$ è esatta con primitiva $g(z)$ se e solo se $g(z)$ è anch'essa olomorfa con derivata complessa $g'(z)=f(z)$ pari a $f(z)$.

In questo contesto risulta più semplice costruire una forma chiusa ma non esatta. La forma

$f(z)={\frac {1}{z}}dz$

definita sull'aperto

$A=\mathbb {C} \setminus \{0\}$

è chiusa (perché $1/z$ è olomorfa) ma non esatta: la funzione $1/z$ non ammette infatti una primitiva su tutto $A$, ma solo in un suo qualsiasi sottoinsieme semplicemente connesso. In altre parole, il logaritmo complesso, naturale candidato come primitiva di $1/z$, può essere definito solo localmente (oppure globalmente come funzione polidroma): ciò è a sua volta riconducibile al fatto che la funzione esponenziale complessa non è iniettiva.

Valgono le uguaglianze seguenti

$f(z)dz={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {y+ix}{x^{2}+y^{2}}}dy=$

$=\left[{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dy\right]+i\left[-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy\right]$

che mostrano che l'esempio dato precedentemente di forma chiusa ma non esatta è (a meno di segno) la parte immaginaria di $f(z)dz$.

Integrazione di una forma differenziale

La proprietà più importante che caratterizza una $k$-forma è il fatto che possa essere integrata su una qualsiasi sottovarietà differenziabile $S$ di dimensione $k$ dell'aperto $A$ su cui è definita. L'integrale di $\omega$ è indicato con il simbolo

$\int _{S}\omega$

ed il risultato di questa operazione è un numero reale.

Se $k=0$, la forma è una funzione, $S$ è un'unione di punti e l'integrale di $\omega$ su $S$ è semplicemente la somma dei valori di $f$ assunti sui punti.

In generale la forma è del tipo

$\omega =\sum a_{i_{1},\dots ,i_{k}}(x)\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}$

Se $S$ ha una parametrizzazione del tipo

$S(u)=(x_{1}(u),\dots ,x_{k}(u))$

con $u$ variabile in un dominio $D$ di $\mathbb {R} ^{k}$, l'integrale è definito come

$\int _{S}\omega =\int _{D}\sum a_{i_{1},\dots ,i_{k}}(S(u)){\frac {\partial (x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\dots ,u_{k})}}\,du_{1}\ldots du_{k}$

dove

${\frac {\partial (x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\dots ,u_{k})}}$

è il determinante dello jacobiano. Con questa definizione, il risultato dell'integrale non dipende dalla parametrizzazione scelta, a meno di segno. Per ottenere un segno univoco si deve fissare un'orientazione su $S$ e considerare solo le parametrizzazioni che preservano l'orientazione.

Se la sottovarietà $S$ è orientabile ma non ha una parametrizzazione globale (ad esempio, un toro in $\mathbb {R} ^{3}$), l'integrale su $S$ è definito come somma di integrali su parametrizzazioni locali disgiunte (mantenenti l'orientazione) che coprono $S$ a meno di un insieme di misura nulla.

Proprietà di base

Valgono le proprietà seguenti. Come tutti gli integrali, l'integrale su due oggetti disgiunti è la somma degli integrali su ciascuno:

$\int _{S_{1}\sqcup S_{2}}\omega =\int _{S_{1}}\omega +\int _{S_{2}}\omega .\,\!$

L'integrale è inoltre lineare (i coefficienti $a,b$ sono costanti):

$\int _{S}(a\omega +b\eta )=a\int _{S}\omega +b\int _{S}\eta .$

L'integrale cambia di segno se l'orientazione della varietà è modificata:

$\int _{-S}=-\int _{S}.\,\!$

Teorema di Stokes

Il teorema di Stokes esprime una relazione fondamentale fra la derivazione esterna e l'integrazione. Se $\omega$ è una $(n-1)$ forma con supporto compatto su una varietà con bordo compatta $M$, vale la relazione

$\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .$

Il teorema di Stokes implica il fatto seguente: l'integrale di una $k$-forma esatta su una varietà chiusa è nullo. In questo caso infatti il bordo non esiste e quindi il secondo termine è zero.

Integrale di linea

Una 1-forma $\omega$ è integrabile su una qualsiasi sottovarietà orientata di dimensione 1, cioè una curva $\gamma$. L'integrale di $\omega$ lungo $\gamma$ può essere calcolato con la formula seguente:

$\int _{\gamma }\omega =\int _{c}^{d}\left\langle \omega (\gamma (t)),{\frac {d\gamma }{dt}}(t)\right\rangle dt$

e non dipende dalla particolare parametrizzazione della curva (cambia di segno se la parametrizzazione cambia l'orientazione). Nel caso in cui l'aperto $A$ sia contenuto nel piano $\mathbb {R} ^{2}$, la forma è del tipo

$\omega =a(x,y)dx+b(x,y)dy$

e l'integrale si calcola nel modo seguente:

$\int _{\gamma }\omega =\int _{c}^{d}[a(x(t),y(t)\cdot x^{\prime }(t)+b(x(t),y(t))\cdot y^{\prime }(t)]\cdot dt$

L'integrale di linea è uno strumento strettamente collegato alle nozioni di forma chiusa e esatta. Valgono infatti i fatti seguenti.

• Se $\omega$ è esatta, l'integrale di $\omega$ su una curva chiusa qualsiasi è nullo. Questo discende dal teorema di Stokes.
• Conseguentemente, se $\omega$ è esatta, l'integrale su una curva non chiusa dipende solo dai suoi estremi.

Ad esempio, la funzione $1/z$ su $\mathbb {C} ^{*}$ non è esatta, poiché

$\int _{\gamma }{\frac {1}{z}}=2\pi i$

per ogni curva $\gamma$ avente indice di avvolgimento 1 con l'origine.

Bibliografia

• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

Voci correlate

• Derivata
• Integrale
• Curva (matematica)
• Integrale di linea
• Algebra di Grassmann
• Varietà (geometria)
• 1-forma
• Forma di volume

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