Corrispondenza biunivoca

In matematica una corrispondenza biunivoca tra due insiemi $X$ e $Y$ è una relazione binaria tra $X$ e $Y$, tale che ad ogni elemento di $X$ corrisponda uno ed un solo elemento di $Y$, e viceversa ad ogni elemento di $Y$ corrisponda uno ed un solo elemento di $X$. In particolare, la corrispondenza biunivoca è una relazione di equivalenza.

Un esempio di funzione biiettiva

Lo stesso concetto può anche essere espresso usando le funzioni. Si dice che una funzione

$f\colon X\to Y$

è biiettiva se per ogni elemento $y$ di $Y$ vi è uno e un solo elemento $x$ di $X$ tale che $f(x)=y$.

Una tale funzione è detta anche biiezione, bigezione, funzione bigettiva o funzione biunivoca.

Proprietà

Iniettività e suriettività

Una funzione $f\colon X\to Y$ è biiettiva se e solo se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva, cioè se soddisfa le seguenti condizioni:

1. $a_{1}\neq a_{2}$ implica $f(a_{1})\neq f(a_{2})$ per ogni $a_{1}$, $a_{2}$ scelti in $X$;
2. $\forall y\in Y\,\exists x\in X$ tale che $f(x)=y$, cioè ogni elemento del codominio è immagine di un elemento del dominio.

Invertibilità

• Una funzione $f\colon X\to Y$ è biiettiva se e solo se è invertibile, cioè se e solo se esiste una funzione $g\colon Y\to X$ tale che la funzione composta $fg$ venga a coincidere con la funzione identità su $Y$ e che la funzione $gf$ coincida con l'identità su $X$. La funzione $g$ se esiste è unica, viene chiamata funzione inversa di $f$ e denotata con $f^{-1}$.

Composizione

• La composizione $g\circ f\colon X\to Z$ di due funzioni biiettive $f\colon X\to Y$ e $g\colon Y\to Z$ è ancora biiettiva.

Corrispondenza biunivoca per insiemi finiti

• Se $X$ e $Y$ sono insiemi finiti, si può costruire una biiezione tra $X$ e $Y$ se e solo se essi hanno la stessa cardinalità. In tale caso, inoltre, ogni funzione $f\colon X\to Y$ iniettiva o suriettiva è anche biiettiva.

Bibliografia

• Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
• Conte, Picco Botta, Romagnoli, Algebra, Levrotto & Bella, 1986, ISBN 8882181464.

Voci correlate

• Corrispondenza biunivoca (geometria descrittiva)
• Funzione inversa
• Funzione iniettiva
• Funzione suriettiva
• Isomorfismo
• Automorfismo
• Omeomorfismo
• Diffeomorfismo
• Permutazione
• Cardinalità

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• corrispondenza biunivoca, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) one-to-one correspondence, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Corrispondenza biunivoca, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Corrispondenza biunivoca, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.