Funzione lineare

In matematica, per funzione lineare si intende:

Nel calcolo infinitesimale, una funzione polinomiale di grado zero o uno.^[1]
In algebra lineare e analisi funzionale, una trasformazione lineare.^[2]

Funzione polinomiale

Quando si introduce il calcolo infinitesimale e quando si trattano le funzioni polinomiali, in genere si chiama funzione lineare una funzione di una variabile reale $x$ a valori reali della forma:

f(x)=mx+c,

con $m$ e $c$ costanti reali. Se $m>0,$ la funzione è strettamente crescente; se $m<0,$ la funzione è strettamente decrescente. Queste funzioni vengono visualizzate nel piano cartesiano riferito a due assi ortogonali come rette di equazione:

y=mx+c.

La costante $m$ viene detta coefficiente angolare, pendenza o gradiente, invece $c$ è chiamata intercetta con l'asse delle $y$ . In effetti la retta interseca l'asse $Oy$ nel punto $(0,c)$ ; la retta inoltre interseca l'asse $Ox$ nel punto $(-{\tfrac {c}{m}},0)$ , come si ricava imponendo $y=0$ e risolvendo la equazione $0=mx+c$ ; quando però $m=0$ la retta è orizzontale e si può dire che "incontra" l'asse $Ox$ solo all'infinito (per formalizzare opportunamente questa idea è necessario introdurre il piano proiettivo).

Esempi

{\begin{aligned}f(x)&=2x+1,\qquad &&(m=2;\ c=1);\\f(x)&=x,\qquad &&(m=1;\ c=0);\\f(x)&=9,\qquad &&(m=0;\ c=9);\\f(x)&=-3x+4,\qquad &&(m=-3;\ c=4).\end{aligned}}

Si osserva che al crescere di $m$ a partire da 0, la retta da orizzontale ruota in senso antiorario aumentando la propria pendenza, invece facendo assumere a $m$ valori negativi la retta ruota in senso orario. Cambiando la costante $c$ la retta trasla verso l'alto o verso il basso, rispettivamente all'aumentare oppure al diminuire di $c$ partendo da 0.

Generalizzazioni

La definizione precedente può estendersi a funzioni di due o più variabili reali o complesse. Ad esempio per funzione lineare di due variabili reali $x$ e $y$ a valori reali si intende una funzione della forma:

f(x,y)=mx+ny+c.

Essa nello spazio tridimensionale riferito a una terna cartesiana ortogonale viene visualizzata come piano che interseca l'asse verticale $Oz$ nel punto $(0,0,c)$ , l'asse $Ox$ in $(-{\tfrac {c}{m}},0,0)$ , o all'infinito se $m=0,$ e l'asse $Oy$ in $(0,-{\tfrac {c}{n}},0)$ , o all'infinito se $n=0$ .

Trasformazione lineare

Per trasformazione lineare (o applicazione lineare), solitamente definita in uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ , si intende una funzione che soddisfa le due proprietà:

f(x+y)=f(x)+f(y),\qquad \forall x,y\in V,

f(ax)=af(x),\qquad \forall a\in K,\quad \forall x\in V,

rispettivamente di additività e omogeneità.

Equivalentemente si può chiedere che:

f(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})=a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2}),\qquad \forall x_{1},x_{2}\in V,\quad \forall a_{1},a_{2}\in K.

In questa definizione $x$ , $y$ , $x_{1}$ e $x_{2}$ possono essere elementi arbitrari di uno spazio vettoriale su un campo $K$ o anche elementi arbitrari di un modulo su un anello commutativo $R$ . La funzione $f$ a sua volta ha come codominio uno spazio vettoriale oppure un modulo. A questa definizione possono adattarsi anche le funzioni viste in precedenza, in quanto hanno come dominio e come codominio degli spazi vettoriali come $\mathbb {R}$ , $\mathbb {C}$ , $\mathbb {R} ^{n}$ , $\mathbb {C} ^{n}$ .

Per la funzione considerata inizialmente

f(x)=mx+c

i due membri dell'uguaglianza sono

m(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})+c\qquad {\text{e}}\qquad a_{1}(mx_{1}+c)+a_{2}(mx_{2}+c)

e questi sono uguali se e solo se $c=0$ .

Dunque il termine "funzione lineare" viene usato con due significati diversi. Per la prima nozione qui introdotta sarebbe preferibile il termine funzione affine, ma l'abitudine alla definizione più comune è molto radicata.

Esempi

{\begin{aligned}f(x)&=x;\\f(x)&=-5x;\\f(x)&=(4x,0,-x);\\f(x,y)&=3x+7y;\\f(x,y)&=(x-4y,2x,9x+2y).\end{aligned}}

Note

^ Stewart 2012, p. 23
^ Shores 2007, p. 71

Bibliografia

(EN) Izrail Moiseevich Gelfand (1961), Lectures on Linear Algebra, Interscience Publishers, Inc., New York. Reprinted by Dover, 1989. ISBN 0-486-66082-6
(EN) Thomas S. Shores (2007), Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. ISBN 0-387-33195-6
(EN) James Stewart (2012), Calculus: Early Transcendentals, edition 7E, Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-49790-9
(EN) Leonid N. Vaserstein (2006), "Linear Programming", in Leslie Hogben, ed., Handbook of Linear Algebra, Discrete Mathematics and Its Applications, Chapman and Hall/CRC, chap. 50. ISBN 1-584-88510-6

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Funzione lineare, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) L.D. Kudryavtsev, Linear function, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

Controllo di autorità	GND (DE) 4744418-6

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[1] Stewart 2012, p. 23

[2] Shores 2007, p. 71

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