Linearità (matematica)

In matematica, la linearità è una relazione che intercorre fra due o più enti matematici. Intuitivamente, due quantità sono in relazione lineare se tra loro sussiste una qualche forma di proporzionalità diretta.

Ad esempio, la legge $A=2B$ correla linearmente $A$ e $B$: se $B$ raddoppia, anche $A$ raddoppia. Il significato esatto del termine "linearità" dipende tuttavia dal contesto in cui il termine viene adoperato.

Relazione lineare tra vettori

In algebra, n vettori $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\cdots \mathbf {v} _{n}$ appartenenti a uno spazio vettoriale definito sul corpo ${\mathcal {K}}$ sono linearmente dipendenti se intercorre tra di essi una relazione del tipo:

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0}$

dove $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\in {\mathcal {K}}$ non sono tutti nulli. Se invece l'eguaglianza è soddisfatta solo per $a_{1}=\ldots =a_{n}=0$ i vettori sono linearmente indipendenti. Se un vettore $\mathbf {v}$ può essere scritto nel modo seguente:

$\mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}$

allora $\mathbf {v}$ è una combinazione lineare dei vettori $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\cdots \mathbf {v} _{n}$. In particolare, lo spazio ${\mathcal {L}}(\mathbf {v} _{1},\cdots ,\mathbf {v} _{n})$ delle combinazioni lineari dei vettori $\mathbf {v} _{1},\cdots ,\mathbf {v} _{n}$ prende il nome di sottospazio generato da tali vettori, ed è un sottospazio vettoriale dello spazio di cui questi vettori fanno parte. È immediato dimostrare che un vettore $\mathbf {v}$ è combinazione lineare di $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ se e solo se i vettori $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n},\mathbf {v}$ sono linearmente dipendenti.

Applicazioni lineari

Un'applicazione $f:V\to W$ definita da un ${\mathcal {K}}$-spazio vettoriale $V$ a un ${\mathcal {K}}$-spazio $W$ è lineare se, per ogni coppia di elementi $x$ e $y$ appartenenti a $V$ su cui agisce la funzione e per ogni coppia di scalari $\lambda$ e $\mu$ per cui tale funzione può essere moltiplicata, vale la relazione:

$f(\lambda x+\mu y)\,=\lambda f(x)\,+\mu f(y)$

In generale, un'applicazione che preservi le leggi di composizione tra due insiemi dotati della stessa struttura è detto omomorfismo. A seconda della struttura definita su tali insiemi si parla quindi di omomorfismo di gruppi, di anelli, di spazi vettoriali e di algebre.

Una funzione in $n$ variabili $f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\to W$ (dove i $V_{i}$ sono ${\mathcal {K}}$-spazi vettoriali) che sia lineare in tutte le sue variabili:

$f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )\qquad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V_{1}\times \ldots \times V_{n}$

$f(a_{1}x_{1},\ldots ,a_{n}x_{n})=a_{1}\ldots a_{n}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\qquad \forall a_{1},\ldots a_{n}\in {\mathcal {K}}$

è detta multilineare. Ad esempio, il prodotto scalare euclideo è una forma bilineare.

Equazioni lineari

Equazioni algebriche

Un'equazione algebrica in n incognite $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ si dice lineare se è della forma:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}-b=0$

dove i coefficienti (costanti) $a_{i}$ non sono tutti nulli. Equivalentemente, un'equazione algebrica nell'incognita $\mathbf {x} =(x_{1},\cdots ,x_{n})^{T}$ è lineare se esistono un vettore $\mathbf {a} =(a_{1},\cdots ,a_{n})^{T}\in {\mathcal {K}}^{n}$, dove ${\mathcal {K}}$ è un campo, e un elemento $b\in {\mathcal {K}}$ per cui si può scrivere:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} =b$

Il simbolo $\cdot$ denota il prodotto scalare ordinario definito sullo spazio ${\mathcal {K}}^{n}$.

Un'equazione lineare può ammettere o meno soluzioni a seconda del campo a cui si richiede appartengano le componenti di $\mathbf {x}$. Un'equazione lineare ammette sempre soluzioni nel campo razionale se sono razionali i coefficienti $a_{1},\ldots ,a_{n},b$, o nel campo reale se i coefficienti sono reali. Queste soluzioni si ottengono ponendo a parametro tutte le incognite tranne quella rispetto alla quale si risolve. Ad esempio, se $a_{1}\neq 0$ l'equazione di cui sopra ammette l'insieme di soluzioni:

${\begin{cases}x_{1}=-{\frac {1}{a_{1}}}\left(a_{2}t_{2}+\cdots +a_{n}t_{n}+b\right)\\x_{2}=t_{2}\\\vdots \\x_{n}=t_{n}\end{cases}}$

dove si sono definiti i parametri liberi $t_{i}=x_{i}$.

Sistemi di equazioni

Un sistema lineare di equazioni algebriche è una collezione di m equazioni lineari, ciascuna nelle n incognite $x_{1},\cdots ,x_{n}$, le cui soluzioni sono soluzioni di tutte le equazioni del sistema. Equivalentemente, l'insieme delle soluzioni del sistema è l'intersezione degli insiemi di soluzioni di tutte le equazioni. A ogni sistema lineare può essere associata una matrice $A$ di dimensione $m\times n$, il cui elemento $a_{ij}$ rappresenta il coefficiente dell'i-esima equazione nella j-esima incognita. Se allora $\mathbf {x}$ è l'n-vettore che ha per componenti le incognite, e $\mathbf {b}$ è l'm-vettore dei termini noti, l'intero sistema si può scrivere:

$A\mathbf {x} =\mathbf {b}$

che equivale a:

$\left\{{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}&=&b_{m}\end{matrix}}\right.$

Un sistema del genere può essere impossibile se non ammette soluzioni, determinato se ammette una e una sola soluzione e indeterminato se ammette più di una soluzione. Se il campo ${\mathcal {K}}$ in cui si stanno cercando le incognite ha cardinalità infinita, un sistema indeterminato ammette infinite soluzioni: questo perché l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è un sottospazio affine di ${\mathcal {K}}$. Più precisamente:

$\mathrm {Sol} (A\mathbf {x} =\mathbf {b} )=\mathrm {Sol} (A\mathbf {x} =\mathbf {0} )+\mathbf {b}$

in particolare, lo spazio $\mathrm {Sol} (A\mathbf {x} =\mathbf {0} )$ delle soluzioni del sistema omogeneo associato è uno spazio vettoriale, poiché:

$A\mathbf {x} =\mathbf {0} {\mbox{ e }}A\mathbf {y} =\mathbf {0} \ \Rightarrow A(\lambda \mathbf {x} +\mu \mathbf {y} )=\mathbf {0} \qquad \forall \lambda ,\mu \in {\mathcal {K}}$

Esiste un teorema che mette in relazione il rango della matrice $A$ con la risolubilità del sistema.

Equazioni differenziali

Un'equazione differenziale ordinaria è lineare se è della forma:

$a_{n}(x)y^{(n)}(x)+\cdots +a_{1}(x)y^{\prime }(x)+a_{0}(x)y(x)=f(x)$

con qualche $a_{i}\neq 0$.

In questo caso, la linearità dell'equazione si esprime nel fatto che le varie derivate di $y$ compaiono tutte al primo grado (o a grado zero). La dicitura "lineare" è motivata dal fatto che l'operatore:

${\mathfrak {L}}:y\mapsto a_{n}(x)y^{(n)}+\cdots +a_{1}(x)y^{\prime }+a_{0}(x)y$

è lineare, cioè se $y_{1}$ è soluzione di ${\mathfrak {L}}(y)=f_{1}(x)$ e $y_{2}$ è soluzione di ${\mathfrak {L}}(y)=f_{2}(x)$ allora $(y_{1}+y_{2})$ è soluzione di ${\mathfrak {L}}(y)=f_{1}(x)+f_{2}(x)$. In altri termini, vale la relazione:

${\mathfrak {L}}(ay_{1}+by_{2})=a{\mathfrak {L}}(y_{1})+b{\mathfrak {L}}(y_{2})\quad \forall a,b\in \mathbb {R}$

Luoghi geometrici

La rappresentazione cartesiana di un'equazione lineare in n incognite è un iperpiano n-1-dimensionale immerso nell'n-spazio. Ad esempio, l'equazione:

$3x+8y-2=0$

individua una retta sul piano (x,y), mentre all'equazione:

$x+2y-z+1=0$

corrisponde un piano nello spazio (x,y,z). Queste equazioni sono dette in forma implicita, laddove le corrispettive forme esplicite sarebbero:

$y=-{\frac {3}{8}}x+{\frac {1}{4}}$

rispetto alla coordinata y, e:

$z=x+2y+1$

rispetto alla coordinata z.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
• (EN) Arfken, G. "A Second Solution." §8.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 467-480, 1985.

Voci correlate

• Equazione differenziale lineare
• Funzione lineare
• Trasformazione lineare
• Sistema di equazioni lineari