Prodotto semidiretto

In algebra, il prodotto semidiretto è un'estensione del concetto di prodotto diretto. Così come il prodotto diretto, un prodotto semidiretto di due gruppi $(G_{1},\cdot ),(G_{2},\star )$ è un gruppo che ha come elementi quelli del prodotto cartesiano $G_{1}\times G_{2}$ , la cui legge di composizione dipende però anche da un omomorfismo particolare scelto fra gli omomorfismi $\psi \colon (G_{2},\star )\to \mathrm {Aut} ((G_{1},\cdot ))$ .^[1]

Definizione

Dati due gruppi $(G_{1},\cdot ),(G_{2},\star )$ ed un omomorfismo $\psi \colon (G_{2},\star )\rightarrow \mathrm {Aut} ((G_{1},\cdot ))$ , chiamiamo prodotto semidiretto di $G_{1}$ e $G_{2}$ secondo $\psi$ il prodotto cartesiano $G_{1}\times G_{2}$ dotato della seguente operazione:

(a,b)*(c,d)=(a\cdot \psi _{b}(c),b\star d)

dove indichiamo con $\psi _{b}$ l'automorfismo $\psi (b)$ appartenente all'insieme $\mathrm {Aut} ((G_{1},\cdot ))$ .

Il prodotto semidiretto di $G_{1}$ e $G_{2}$ secondo $\psi$ può essere indicato come

(G_{1},\cdot )\rtimes _{\psi }(G_{2},\star )

.

Prodotto diretto e semidiretto

Il prodotto diretto $(G_{1},\cdot )\times (G_{2},\star )$ è un caso particolare di prodotto semidiretto: quello ottenuto considerando tra $(G_{2},\star )$ e $\mathrm {Aut} ((G_{1},\cdot ))$ l'omomorfismo:

\psi (b)=\mathrm {Id} _{1},\quad \forall b\in G_{2}

dove $\mathrm {Id} _{1}$ è l'automorfismo identità in $(G_{1},\cdot )$ . Infatti l'operazione su $(G_{1},\cdot )\rtimes _{\psi }(G_{2},\star )$ sarà a questo punto:

$(a,b)*(c,d)=(a\cdot \psi _{b}(c),b\star d)=(a\cdot \mathrm {Id} _{1}(c),b\star d)=(a\cdot c,b\star d).$

Questa, per l'appunto, non è altro che l'operazione del prodotto diretto.

Teorema sulla decomposizione in prodotto semidiretto

Sia $(G,*)$ un gruppo e siano $H,K$ due suoi sottogruppi.

Se:

$H\triangleleft G$ ( $H$ è normale in $G$ ),
$G=HK=\{h*k\mid h\in H,k\in K\},$
$H\cap K=\{e\},$

allora $G\cong H\rtimes _{\psi }K$ , dove $\psi _{k}(h)=khk^{-1}$ (ossia ogni elemento viene mappato da $\psi$ nel rispettivo automorfismo coniugio).

L'isomorfismo tra $G$ e $H\rtimes _{\psi }K$ sarà quello che manda il generico elemento $h*k$ in $(h,k)$ .

Esempi di gruppi semidiretti

Dato un gruppo avente ordine $pq$ , con $p,q$ numeri primi distinti, $p<q$ , esso, per il teorema enunciato e per i teoremi di Sylow^[2], sarà decomponibile come:
$\mathbb {Z} _{q}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{p}.$
In particolare, se $p$ non divide $|\mathrm {Aut} (\mathbb {Z} _{q})|=\varphi (q)=q-1$ ( $\varphi$ è la funzione φ di Eulero), l'unico omomorfismo tra $\mathbb {Z} _{p}$ e $\mathrm {Aut} (\mathbb {Z} _{q})$ è quello che mappa ogni elemento nella funzione identità, e quindi in tale caso
$G\cong \mathbb {Z} _{q}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{p}=\mathbb {Z} _{q}\times \mathbb {Z} _{p}$
Ogni gruppo diedrale $D_{n}$ è isomorfo al seguente prodotto semidiretto:
$\mathbb {Z} _{n}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{2},$
dove $\psi (0)$ è l'identità su $\mathbb {Z} _{n}$ e $\psi (1)$ è l'applicazione che manda ogni elemento $m$ di $\mathbb {Z} _{n}$ nel suo opposto $-m$ .^[3] In particolare un isomorfismo $\phi \colon D_{n}\rightarrow \mathbb {Z} _{n}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{2}$ è quello tale che:
- $\phi (r)=(1,0),$
- $\phi (s)=(0,1),$
e quindi^[4]
$\phi (r^{h}s^{k})=(h,k),$
dove $r,s$ sono rispettivamente una rotazione di angolo minimo e una simmetria fissata.
Il gruppo di Poincaré, il gruppo di isometrie dello spazio-tempo di Minkowski, è il prodotto semidiretto delle traslazioni e delle trasformazioni di Lorentz
Il gruppo fondamentale della bottiglia di Klein può essere scritto nella forma
$\langle a,b\mid aba^{-1}=b^{-1}\rangle ,$
ed è perciò prodotto semidiretto del gruppo degli interi, $\mathbb {Z}$ , con sé stesso.

Applicazioni

I prodotti semidiretti sono di aiuto nella classificazione dei gruppi, ad esempio permettono di classificare tutti i gruppi di ordine $pq$ con $p,q$ primi e $p<q$ :

Se $q\not \equiv 1{\bmod {p}},$ c'è un solo gruppo ed è $\mathbb {Z} _{pq}.$

Se $q\equiv 1{\bmod {p}},$ ce ne sono due, uno è $\mathbb {Z} _{pq}$ e l'altro, non abeliano, è dato da $\{{\begin{pmatrix}x&y\\0&1\end{pmatrix}}:x\in \mathbb {Z} _{q}^{*},y\in \mathbb {Z} _{q},x^{p}\equiv 1{\bmod {q}}\}\subset {\text{Aff}}(\mathbb {Z} _{q}).$

Di seguito è riportato un esempio di come il prodotto semidiretto ci può aiutare a classificare i gruppi di un ordine assegnato.

Classificazione dei gruppi di ordine 30:

Sia $\mid G\mid =30=2\cdot 3\cdot 5$ allora per i teoremi di sylow $G$ contiene un sottogruppo di ordine 2, uno di ordine 3 e uno di ordine 5, e vale $n_{5}\in \{1,6\}$ e $n_{3}\in \{1,10\}$ . Non può essere contemporaneamente $n_{3}=10$ e $n_{5}=6$ altrimenti $G$ avrebbe 20 elementi di ordine 3 e 24 di ordine 5, allora almeno uno dei due sottogruppi è normale e possiamo quindi considerare il loro prodotto che è un sottogruppo di $G$ di ordine 15. Per il teorema precedente deve necessariamente essere ciclico e poiché ha indice 2 deve essere normale.

Per il teorema sulla decomposizione in prodotto semidiretto $G\cong \mathbb {Z} _{15}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{2}$ con $\psi \colon \mathbb {Z} _{2}\rightarrow {\text{Aut}}(\mathbb {Z} _{15})\cong \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}$ che agisce per coniugio. Contiamo ora gli omomorfismi da $\mathbb {Z} _{2}$ a $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}$ questi sono 4, infatti dobbiamo scegliere dove mandare $1$ che ha ordine 2 e poiché $\psi$ è un omomorfismo $\psi (1)\mid 2$ , allora $\psi (1)\in \{(0,0),(0,2),(1,0),(1,2)\}$ . Abbiamo mostrato che ci sono al più 4 gruppi di ordine 30 e considerando $\mathbb {Z} _{30},\mathbb {Z} _{3}\times D_{5},\mathbb {Z} _{5}\times D_{3},D_{15},$ è facile vedere che questi sono 4 gruppi di ordine 30 non isomorfi.

Proprietà

Mentre il prodotto diretto di due gruppi abeliani è sempre abeliano, non si può dire altrettanto del prodotto semidiretto (un esempio è dato dai gruppi diedrali, dato che $D_{n}$ è non abeliano per ogni $n\geq 3$ ), e anzi, un prodotto semidiretto di due gruppi abeliani è abeliano se e solo se il prodotto semidiretto coincide con quello diretto.

Note

^ Dato un gruppo $G$ , si indica con $\mathrm {Aut} (G)$ il gruppo degli automorfismi di $G$ (isomorfismi di $G$ in sé stesso), dotati dell'operazione di composizione.
^ Osserviamo che infatti un sottogruppo di ordine $p$ esiste e sarà normale in quanto caratteristico.
^ Visto nel gruppo diedrale, $\psi _{s}(r)=srs^{-1}=r^{-1}$
^ Essendo $r,s$ generatori per l'intero gruppo diedrale, l'isomorfismo è ben definito definendo semplicemente le loro immagini.