Residuo (analisi complessa)
In analisi complessa, il residuo è un numero complesso che descrive il comportamento degli integrali di contorno di una funzione olomorfa intorno ad una singolarità isolata.
I residui vengono calcolati facilmente e sono uno strumento potente dell'analisi complessa, poiché permettono di valutare numerosi integrali attraverso il calcolo (generalmente più semplice) di alcune derivate, tramite il teorema dei residui.
Definizione
modificaSia un aperto del piano complesso , e un punto di . Sia
una funzione olomorfa che in ha una singolarità isolata e quindi un unico sviluppo locale in serie di Laurent
Il residuo di in è l'integrale di lungo la circonferenza diviso per :
dove il raggio è preso sufficientemente piccolo da non contenere altre singolarità isolate. In modo equivalente, il residuo di in è il coefficiente della serie di Laurent, e viene indicato con
Il valore del residuo non dipende dal raggio del cerchio lungo il quale avviene l'integrazione, ma solo dal comportamento della funzione nel punto di singolarità.
Integrali di contorno
modificaIl residuo è importante perché determina l'integrale di lungo una curva chiusa che abbia indice di avvolgimento uno intorno alla singolarità. Ad esempio, la curva
definita su , per sufficientemente piccolo in modo che il suo supporto sia effettivamente in . Vale quindi
Infatti valgono le uguaglianze
Tutti i termini diversi da infatti non contribuiscono all'integrale, poiché la funzione ha una primitiva ben definita per ogni maggiore di , data da mentre per ogni minore di l'integrale su linea chiusa è nullo anche se non ben definito per L'ultima uguaglianza può essere calcolata direttamente, traslando in per comodità:
Calcolo del residuo
modificaIl calcolo del residuo di una funzione in un punto risulta particolarmente semplice nel caso in cui la singolarità isolata sia eliminabile o un polo. Se la singolarità è eliminabile allora il residuo è automaticamente zero, mentre se è un polo di ordine k il residuo è:
e in particolare, se è un polo semplice (cioè se k = 1), allora il residuo è semplicemente:
Infatti la serie di Laurent si scrive come
ove è l'ordine del polo. Ponendo
- ,
si ottiene una funzione analitica in con sviluppo di Taylor
Confrontando il coefficiente del termine di grado k-1 delle due serie per g (z), risulta quindi
Residuo all'infinito
modificaUna funzione olomorfa è definita in un intorno dell'infinito se esiste un tale che l'aperto contenga tutti gli con modulo . In questo caso, è definito il residuo all'infinito di come
dove
è una curva qualsiasi con (il risultato non dipende da questa scelta).
In particolare, il residuo all'infinito può essere determinato come
Tale relazione discende da un semplice cambio di variabile (o trasformazione conforme) che manda la variabile z nella sua inversa . Segue allora che
ove
Risulta allora che la funzione ha un punto singolare isolato nella nuova variabile ω dove essa vale 0. Ad essa si applica allora il teorema dei residui, da cui discende la formula per il residuo all'infinito. Da notare che la rappresentazione sulla sfera di Riemann fornisce una rappresentazione potente della situazione matematica descritta.
Esempi
modificaEsempio 1
modificaSia ,
.
Poiché è olomorfa intorno a , per ogni , lo sviluppo di Laurent di in è lo sviluppo di Taylor, dunque e dunque se .
Lo sviluppo di Laurent di in è
dunque e allora . Per , considero la
e dunque .
Esempio 2
modificaSia ,
.
Mostrare che se ,
e
.
Poiché è olomorfa intorno a , per ogni , lo sviluppo di Laurent di in è lo sviluppo di Taylor, dunque e dunque se , come nel caso precedente.
Lo sviluppo di Laurent di in è
dunque e allora . Per , considero la
e dunque .
Esempio 3
modificaSia ,
.
perché ha grado 2 ma i due poli in hanno ciascuno molteplicità 1.
Voci correlate
modificaCollegamenti esterni
modifica- (EN) residue, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Residuo, su MathWorld, Wolfram Research.