Simbolo di Legendre

Il simbolo di Legendre è utilizzato in matematica nell'ambito della teoria dei numeri, e in particolare nei campi della fattorizzazione e dei residui quadratici. Esso prende il nome dal matematico francese Adrien-Marie Legendre.

Definizione

Il simbolo di Legendre è definito come segue:

Se $p$ è un numero primo dispari e $a$ è un intero, allora il simbolo di Legendre $\left({\frac {a}{p}}\right)$ è uguale a:

• $0$ se $p$ divide $a$;
• $1$ se $a$ è un quadrato modulo $p$, ossia se esiste un intero $k$ tale che $k^{2}\equiv a{\pmod {p}}$, o equivalentemente se $a$ è un residuo quadratico modulo $p$;
• $-1$ se $a$ non è un quadrato modulo $p$, cioè se $a$ non è un residuo quadratico modulo $p$.

La generalizzazione del simbolo di Legendre a $\left({\frac {a}{n}}\right)$ con $n\in \mathbb {N}$ dispari è il simbolo di Jacobi.

Proprietà del simbolo di Legendre

Il simbolo di Legendre possiede un certo numero di proprietà che consentono di velocizzare i calcoli. Le più importanti sono:

1. $\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)$ (cioè è una funzione completamente moltiplicativa nel suo argomento superiore)
2. Se a ≡ b (mod p), allora $\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)$
3. $\left({\frac {1}{p}}\right)=1$
4. $\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\left({\frac {p-1}{2}}\right)}$, cioè 1 se p ≡ 1 (mod 4) e −1 se p ≡ 3 (mod 4)
5. $\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left({\frac {p^{2}-1}{8}}\right)}$, cioè 1 se p ≡ 1 o 7 (mod 8) e −1 se p ≡ 3 o 5 (mod 8)
6. Se q è un primo dispari, allora $\left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)(-1)^{\left({\frac {p-1}{2}}\right)\left({\frac {q-1}{2}}\right)}$

L'ultima proprietà prende il nome di legge di reciprocità quadratica.

Il simbolo di Legendre è inoltre collegato al criterio di Eulero, dimostrato da Leonardo Eulero:

$\left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\left({\frac {p-1}{2}}\right)}{\pmod {p}}$

Infine, il simbolo di Legendre è un carattere di Dirichlet, detto anche il carattere quadratico modulo p.

Funzioni correlate

Il simbolo di Jacobi è una generalizzazione del simbolo di Legendre che ammette come argomento un numero dispari composto al posto del primo p.

Bibliografia

• Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9, (Chapter 9.2)
• H. Davenport, Aritmetica superiore, Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 88-08-09154-6 - Capitolo III.3