Sia
p
=
(
x
0
,
y
0
)
∈
Ω
{\displaystyle p=(x_{0},y_{0})\in \Omega }
reali
ε
{\displaystyle \varepsilon }
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0\,}
(
x
0
−
ε
,
x
0
+
ε
)
×
(
y
0
−
δ
,
y
0
+
δ
)
⊂
Ω
{\displaystyle (x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon )\times (y_{0}-\delta ,y_{0}+\delta )\subset \Omega }
Ω
{\displaystyle \Omega }
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
Si definiscono due funzioni
F
{\displaystyle F}
G
{\displaystyle G}
F
:
(
−
ε
,
ε
)
⊂
R
→
R
{\displaystyle F\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
G
:
(
−
δ
,
δ
)
⊂
R
→
R
{\displaystyle G\colon (-\delta ,\delta )\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
in modo che:
F
(
t
)
=
f
(
x
0
+
t
,
y
0
+
s
)
−
f
(
x
0
+
t
,
y
0
)
∀
s
∈
(
−
δ
,
δ
)
{\displaystyle F(t)=f(x_{0}+t,y_{0}+s)-f(x_{0}+t,y_{0})\qquad \forall s\in (-\delta ,\delta )}
G
(
s
)
=
f
(
x
0
+
t
,
y
0
+
s
)
−
f
(
x
0
,
y
0
+
s
)
∀
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
{\displaystyle G(s)=f(x_{0}+t,y_{0}+s)-f(x_{0},y_{0}+s)\qquad \forall t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}
Si prova facilmente che, fissati
t
{\displaystyle t}
s
{\displaystyle s}
F
(
t
)
−
F
(
0
)
=
G
(
s
)
−
G
(
0
)
.
{\displaystyle F(t)-F(0)=G(s)-G(0).}
Inoltre, applicando due volte il teorema di Lagrange :
F
(
t
)
−
F
(
0
)
=
t
F
′
(
ξ
1
)
=
t
[
∂
f
∂
x
(
x
0
+
ξ
1
,
y
0
+
s
)
−
∂
f
∂
x
(
x
0
+
ξ
1
,
y
0
)
]
=
t
s
∂
2
f
∂
y
∂
x
(
x
0
+
ξ
1
,
y
0
+
σ
1
)
{\displaystyle F(t)-F(0)=tF'(\xi _{1})=t\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0}+s)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0})\right]=ts{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0}+\sigma _{1})}
e analogamente:
G
(
s
)
−
G
(
0
)
=
s
t
∂
2
f
∂
x
∂
y
(
x
0
+
ξ
2
,
y
0
+
σ
2
)
,
{\displaystyle G(s)-G(0)=st{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0}+\xi _{2},y_{0}+\sigma _{2}),}
con
ξ
i
∈
(
0
,
t
)
{\displaystyle \xi _{i}\in (0,t)}
σ
i
∈
(
0
,
s
)
{\displaystyle \sigma _{i}\in (0,s)}
t
,
s
>
0
{\displaystyle t,s>0\,}
Facendo tendere
t
{\displaystyle t}
s
{\displaystyle s}
0
{\displaystyle 0}
ξ
i
{\displaystyle \xi _{i}}
σ
i
{\displaystyle \sigma _{i}}
∂
2
f
∂
y
∂
x
(
x
0
,
y
0
)
=
∂
2
f
∂
x
∂
y
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_{0},y_{0})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0},y_{0})}
Sia:
f
(
x
,
y
)
=
x
2
y
2
+
y
3
x
{\displaystyle f(x,y)=x^{2}y^{2}+y^{3}x}
Entrambe le derivate parziali prime sono continue. Risulta rispettivamente :
f
x
=
2
x
y
2
+
y
3
{\displaystyle f_{x}=2xy^{2}+y^{3}}
f
y
=
2
y
x
2
+
3
x
y
2
{\displaystyle f_{y}=2yx^{2}+3xy^{2}}
queste due funzioni sono ulteriormente derivabili e le derivate miste sono:
f
x
y
=
4
x
y
+
3
y
2
{\displaystyle f_{xy}=4xy+3y^{2}}
f
y
x
=
4
x
y
+
3
y
2
{\displaystyle f_{yx}=4xy+3y^{2}}
Quindi
f
x
y
=
f
y
x
{\displaystyle f_{xy}=f_{yx}}
Esempio di funzione con derivate parziali miste diverse
modifica
Il grafico della funzione f (x , y ) di Peano qui accanto. Si può notare che è omogenea di grado 2, però girando attorno all'origine si sale e poi scende 4 volte, troppo per una forma quadratica in due variabili. L'ipotesi di continuità delle derivate parziali seconde miste è sufficiente .[ 1] Peano ). Data la funzione continua:
f
(
x
,
y
)
=
{
x
y
x
2
−
y
2
x
2
+
y
2
∀
(
x
,
y
)
∈
R
2
∖
(
0
,
0
)
0
(
x
,
y
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle f(x,y)=\left\{{\begin{matrix}xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}&\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \ (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{matrix}}\right.}
Si hanno derivate parziali prime continue:
f
x
(
x
,
y
)
=
{
y
x
2
−
y
2
x
2
+
y
2
+
x
y
2
x
(
x
2
+
y
2
)
−
2
x
(
x
2
−
y
2
)
(
x
2
+
y
2
)
2
∀
(
x
,
y
)
∈
R
2
∖
(
0
,
0
)
0
(
x
,
y
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle f_{x}(x,y)=\left\{{\begin{matrix}y{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+xy{\frac {2x(x^{2}+y^{2})-2x(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \ (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{matrix}}\right.}
f
y
(
x
,
y
)
=
{
−
x
y
2
−
x
2
x
2
+
y
2
−
x
y
2
y
(
x
2
+
y
2
)
−
2
y
(
y
2
−
x
2
)
(
x
2
+
y
2
)
2
∀
(
x
,
y
)
∈
R
2
∖
(
0
,
0
)
0
(
x
,
y
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle f_{y}(x,y)=\left\{{\begin{matrix}-x{\frac {y^{2}-x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}-xy{\frac {2y(x^{2}+y^{2})-2y(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \ (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{matrix}}\right.}
Ma le derivate seconde miste non sono continue e sono diverse, infatti:
f
x
y
(
0
,
0
)
=
lim
k
→
0
f
x
(
0
,
k
)
−
f
x
(
0
,
0
)
k
=
−
1
{\displaystyle f_{xy}(0,0)=\lim _{k\to 0}{\frac {f_{x}(0,k)-f_{x}(0,0)}{k}}=-1}
f
y
x
(
0
,
0
)
=
lim
h
→
0
f
y
(
h
,
0
)
−
f
y
(
0
,
0
)
h
=
+
1
{\displaystyle f_{yx}(0,0)=\lim _{h\to 0}{\frac {f_{y}(h,0)-f_{y}(0,0)}{h}}=+1}
Dunque
f
y
x
≠
f
x
y
{\displaystyle f_{yx}\neq \ f_{xy}}
^ Hubbard, John; Hubbard, Barbara, Vector Calculus, Linear Algebra and Differential Forms (5th ed.) , p. 732–733.
Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Analisi matematica due , Liguori, 1996, ISBN 8820726750 .(EN Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation PDF ISBN 978-981-279-170-2 . 
![{\displaystyle F(t)-F(0)=tF'(\xi _{1})=t\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0}+s)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0})\right]=ts{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0}+\sigma _{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c3d481b2a3a3c9c157e0bcbc0a09d33a52cfed1)
