Teorema di Sylvester

In algebra lineare il teorema di Sylvester permette di classificare i prodotti scalari su uno spazio vettoriale di dimensione finita tramite un invariante numerico, che nel caso reale è la segnatura mentre nel caso complesso è il rango.

Il teorema

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo $K$ dei numeri reali o complessi, sul quale è definito un prodotto scalare $\phi$, ovvero una forma bilineare simmetrica.

Due prodotti scalari $\phi$ e $\psi$ sono detti isometrici (o congruenti) se sono collegati da una isometria, ovvero se esiste un automorfismo $T:V\to V$, cioè una trasformazione lineare biunivoca, tale che:

$\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\psi (T(\mathbf {v} ),T(\mathbf {w} ))\quad \forall \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V$

Due vettori $\mathbf {v}$ e $\mathbf {w}$ di $V$ sono ortogonali per $\phi$ se $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0$, e il radicale di $\phi$ è il sottospazio vettoriale dato dai vettori che sono ortogonali a qualsiasi vettore. Il rango di $\phi$ è n meno la dimensione del radicale, mentre un vettore $\mathbf {v}$ è isotropo se $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=0$.

Una base ortogonale di $V$ rispetto a $\phi$ è una base di vettori $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ che sono a due a due ortogonali. Si consideri $K=\mathbb {R}$ e si definisca la segnatura della base come la terna $(i_{+},i_{-},i_{0})$ di interi, dove:

• $i_{+}$ è il numero di vettori $\mathbf {v} _{i}$ della base per cui $\phi (\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{i})>0$.
• $i_{-}$ è il numero di vettori $\mathbf {v} _{i}$ della base per cui $\phi (\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{i})<0$.
• $i_{0}$ è il numero di vettori $\mathbf {v} _{i}$ della base per cui $\phi (\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{i})=0$.

Una tale definizione non avrebbe senso per $K=\mathbb {C}$, perché $\mathbb {C}$ non ha un ordinamento naturale.

Enunciato

Esistono due versioni del teorema di Sylvester: una per il campo reale, e una per quello complesso.

Il teorema di Sylvester reale afferma che se $\phi$ è un prodotto scalare sullo spazio vettoriale reale $V$ di dimensione n, allora:

• Esiste una base ortogonale di $V$ per $\phi$.
• Due basi ortogonali per $V$ hanno la stessa segnatura, che dipende quindi solo da $\phi$.
• Due prodotti scalari con la stessa segnatura sono congruenti.

La segnatura è quindi un invariante completo per l'isometria (congruenza): due spazi vettoriali reali con prodotto scalare sono isometrici (congruenti) se e solo se hanno la stessa segnatura.

La versione complessa afferma che se $\phi$ è un prodotto scalare sullo spazio vettoriale complesso $V$ di dimensione n, allora:

• Esiste una base ortogonale di $V$ per $\phi$.
• Due basi ortogonali per $V$ contengono lo stesso numero di vettori isotropi, pari alla dimensione del radicale, che dipende quindi solo da $\phi$.
• Due prodotti scalari con lo stesso rango sono congruenti.

Nel caso complesso il rango è pertanto un invariante completo per l'isometria (congruenza).

Bibliografia

• (EN) D. J. H. Garling, Clifford algebras. An introduction, London Mathematical Society Student Texts, vol. 78, Cambridge, Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-1-107-09638-7, Zbl 1235.15025.
• (EN) Norman, C.W., Undergraduate algebra, Oxford University Press, 1986, pp. 360–361, ISBN 0-19-853248-2.

Voci correlate

• Algoritmo di Lagrange
• Base ortonormale
• Isometria
• Prodotto scalare
• Segnatura (algebra lineare)

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Sylvester, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Teorema di Sylvester, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) Sylvester's law Archiviato il 15 marzo 2012 in Internet Archive. on PlanetMath.