Distribuzione normale

La distribuzione normale (o distribuzione di Gauss dal nome del matematico tedesco Carl Friedrich Gauss, o distribuzione a Campana di Gauss), nella teoria della probabilità, è una distribuzione di probabilità continua che è spesso usata come prima approssimazione per descrivere variabili casuali a valori reali che tendono a concentrarsi attorno a un singolo valor medio.

Variabile casuale normale (o di Gauss)
Funzione di densità La linea in rosso si riferisce alla variabile casuale normale standardizzata
Funzione di ripartizione I colori corrispondono a quelli delle densità della figura precedente
Parametri	$\mu ~\in ~\mathbb {R}$, $\sigma ^{2}~\in ~(0,\infty )$
Supporto	$\mathbb {R}$
Funzione di densità	${\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right\}$
Funzione di ripartizione	${\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {erf} \,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)$
Valore atteso	$\mu$
Mediana	$\mu$
Moda	$\mu$
Varianza	$\sigma ^{2}$
Indice di asimmetria	$0$
Curtosi	$0$
Entropia	$\ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)$
Funzione generatrice dei momenti	${M_{X}(t)=\exp \left(\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$
Funzione caratteristica	$\varphi _{X}(t)=\exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)$

Il grafico della funzione di densità di probabilità associata è simmetrico e ha una forma a campana, nota come "curva a campana", "curva normale", "curva gaussiana" o "curva degli errori".

Descrizione

La distribuzione normale è considerata il caso base delle distribuzioni di probabilità continue a causa del suo ruolo nel teorema del limite centrale. Un insieme di valori dato potrebbe essere normale: per stabilirlo si può usare un test di normalità. Più specificamente, assumendo certe condizioni, la somma di $n$ variabili casuali con media e varianza finite tende a una distribuzione normale al tendere di $n$ all'infinito. Grazie a questo teorema, la distribuzione normale si incontra spesso nelle applicazioni pratiche, venendo usata in statistica e nelle scienze naturali e sociali come un semplice modello per fenomeni complessi.

La distribuzione normale dipende da due parametri, la media $\mu$ e la varianza $\sigma ^{2}$, ed è indicata tradizionalmente con:

$\ N(\mu ;\sigma ^{2}).$

Metodologia

La distribuzione normale è caratterizzata dalla seguente funzione di densità di probabilità, cui spesso si fa riferimento con la dizione curva di Gauss o gaussiana:

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\;e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}~{\mbox{ con }}~x\in \mathbb {R} ,$

dove $\mu$ è il valore atteso e $\sigma ^{2}$ la varianza.

Per dimostrare che $p_{X}(x)$ è effettivamente una funzione di densità di probabilità si ricorre innanzi tutto alla standardizzazione (statistica) della variabile casuale, cioè alla trasformazione tale per cui risulta:

$Z={\frac {x-\mu }{\sigma }},$

dove la variabile risultante $-\infty <Z<+\infty$ ha anch'essa distribuzione normale con parametri $\mu =0$ e $\sigma =1$. L'integrale della funzione di densità di probabilità della variabile casuale standardizzata $Z$ è il seguente:

$S=\int _{-\infty }^{+\infty }p_{Z}(z)dz=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}dz.$

Dato che deve necessariamente valere la condizione $S=1$, allora risulta anche $S^{2}=1$, quindi:

$S^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }p_{Z}(z)dz\int _{-\infty }^{+\infty }p_{Y}(y)dy,$

$S^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {z^{2}+y^{2}}{2}}}dzdy,$

dove anche la variabile casuale $Y$ ha distribuzione normale standardizzata. Per risolvere questo integrale doppio si ricorre alle coordinate polari $z=\rho \cos \theta$ e $y=\rho \sin \theta$, dove $\rho \geq 0$ e $0\leq \theta \leq 2\pi$. La matrice jacobiana della trasformazione è

$J(\rho ,\theta )=\left[{\begin{array}{cc}{\frac {\partial z}{\partial \rho }}&{\frac {\partial z}{\partial \theta }}\\\\{\frac {\partial y}{\partial \rho }}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}\cos \theta &-\rho \sin \theta \\\sin \theta &\rho \cos \theta \end{array}}\right],$

il cui determinante è uguale a $|J(\rho ,\theta )|=\rho (\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )=\rho$. Sostituendo nell'integrale di cui sopra si ottiene:

$S^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{+\infty }\int _{0}^{2\pi }e^{-{\frac {\rho ^{2}(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )}{2}}}|J(\rho ,\theta )|d\theta d\rho =\int _{0}^{+\infty }e^{-{\frac {\rho ^{2}}{2}}}\rho \ d\rho =1.$

La sua funzione generatrice dei momenti è

$g(x)=e^{\mu x+\sigma ^{2}{\frac {x^{2}}{2}}}.$

Il valore atteso e la varianza (che sono gli unici due parametri di questa variabile casuale) sono appunto $\mu$ e $\sigma ^{2}$.

Non essendo possibile esprimere l'integrale della $p_{X}(x)$ in forma chiusa mediante funzioni elementari, è necessario rendere disponibili in forma tabellare i valori della sua funzione di ripartizione. I più usati sono:

$68,3\%=P\left\{\mu -1,00\sigma <X<\mu +1,00\sigma \right\};$

$95,0\%=P\left\{\mu -1,96\sigma <X<\mu +1,96\sigma \right\};$

$95,5\%=P\left\{\mu -2,00\sigma <X<\mu +2,00\sigma \right\};$

$99,0\%=P\left\{\mu -2,58\sigma <X<\mu +2,58\sigma \right\};$

$99,7\%=P\left\{\mu -3,00\sigma <X<\mu +3,00\sigma \right\}.$

Essendo $p_{X}(x)$ una funzione simmetrica, è sufficiente conoscere la funzione di ripartizione dei valori positivi per conoscere pure quella dei valori negativi (e viceversa).

Dalla variabile casuale Normale si possono ottenere altre variabili casuali, come la t di Student, la Chi Quadrato e la F di Fisher-Snedecor, nonché le loro "varianti" non centrali (t non centrale, chi quadrato non centrale e F non centrale).

Teoremi

Combinazione lineare di variabili gaussiane

Se

$X_{1},\,X_{2},\,\cdots ,X_{n}$ sono $n$ variabili casuali Normali tra di loro indipendenti, ciascuna con valore atteso $\mu _{i}$ e varianza $\sigma _{i}^{2}$,

allora

la variabile casuale $Y=\alpha _{1}X_{1}+\alpha _{2}X_{2}+\cdots +\alpha _{n}X_{n}$ è a sua volta una variabile casuale Normale con valore atteso $\mu =\alpha _{1}\mu _{1}+\alpha _{2}\mu _{2}+\cdots +\alpha _{n}\mu _{n}$ e varianza $\sigma ^{2}=\alpha _{1}^{2}\sigma _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}\sigma _{2}^{2}+\cdots +\alpha _{n}^{2}\sigma _{n}^{2}$.

Altri teoremi: teorema di Cochran.

Relazioni con altre variabili casuali

La Normale come derivazione da altre voci

I teoremi del limite centrale sono una famiglia di teoremi che hanno in comune l'affermazione che la somma (normalizzata) di un grande numero di variabili casuali è distribuita approssimativamente come una variabile casuale normale.

Se $X$ è distribuita come una variabile casuale binomiale con $n$ molto grande (per dare un'idea di quanto grande, possiamo dire che deve essere $n>30$), e approssimativamente $np>10$, allora la binomiale può essere approssimata con una Normale con valore atteso $np$ e varianza $npq:N(np;npq)$.

Se $X$ è distribuita come una variabile casuale poissoniana con il parametro $\lambda$ molto grande (orientativamente $\lambda >10$), allora la Poissoniana può essere approssimata con una Normale con valore atteso e varianza pari a $\lambda :N(\lambda ;\lambda )$.

Variabili casuali derivate dalla Normale

Date $n$ distribuzioni normali $Z_{1}(0;1);\,Z_{2}(0;1);\,\cdots \,Z_{n}(0;1)$ con media nulla e varianza unitaria indipendenti tra loro. Allora

$\chi _{n}^{2}=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+\cdots +Z_{n}^{2}$

è una variabile casuale chi quadro con $n$ gradi di libertà.

Siano $Z_{1},Z_{2},\cdots ,Z_{n}$ variabili casuali indipendenti distribuite come una Normale con media nulla e varianza unitaria, e siano inoltre $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$ delle costanti tali che

$\lambda =\sum {a_{i}^{2}},$

allora si indica con $\chi '^{2}$ la variabile casuale chi quadro non centrale con $n$ gradi di libertà costruita come

$\chi '^{2}=\sum (Z_{i}+a_{i})^{2}.$

Se $Z\sim N(0;1)$ e $X\sim \chi _{n}^{2}$ tra loro indipendenti, allora $T=Z/{\sqrt {X/n}}$ è distribuita come una t di Student con $n$ gradi di libertà.

Se $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}{\text{ i.i.d.}}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ e $\displaystyle {\bar {X}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{n}}$ è la v.c. media campionaria, mentre ${\hat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}{n}}$ è la v.c. varianza campionaria non corretta, allora ${\bar {X}}\sim {\mathcal {N}}\left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\right)$ e ${\frac {n{\hat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi ^{2}(n-1)$, inoltre ${\bar {X}}$ e ${\hat {\sigma }}^{2}$ sono indipendenti.

Se $Z\sim N(0;1)$ e $T=\beta \left({\tfrac {\alpha Z}{2}}+{\sqrt {{\tfrac {(\alpha Z)^{2}}{4}}+1}}\right)^{2}$, allora $T$ è una v.c. di Birnbaum-Saunders con i parametri $\alpha$ e $\beta$.

La normale nell'inferenza bayesiana

Variabile casuale Gamma come priori coniugati della normale

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana si trova la seguente relazione tra la normale e la distribuzione Gamma.

Se $x$ è una distribuzione normale con parametri $\mu$ e $1/\theta$

$f(x|\theta )=N(x|\mu ;1/\theta )$

e il parametro $\theta$ ha una distribuzione $\Gamma$ con i parametri $a$ e $b$

$g(\theta )=\Gamma (\theta |a;b),$

allora il parametro $\theta$ è distribuito a posteriori anch'esso come una variabile casuale Gamma, ma con parametri $a+{\frac {1}{2}}$ e $b+{\frac {(\mu -x)^{2}}{2}}$:

$g(\theta |x)=\Gamma (\theta |a+1/2;b+(\mu -x)^{2}/2).$

Priori coniugati normale di una normale

Se $X$ è distribuita come una v.c. normale con parametri $m$ e $\sigma ^{2}$

$f(x|m)=N(x|m;1/r^{2})$

e il parametro $m$ è distribuito a priori come una v.c. normale con i parametri $\mu$ e $\sigma ^{2}$

$g(m)=N(m|\mu ;\sigma ^{2}),$

allora il parametro $m$ è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Normale, ma con parametri:

$(\sigma ^{2}\mu +r^{2}x)/(\sigma ^{2}+r^{2})$ e $(\sigma ^{2}r^{2})/(\sigma ^{2}+r^{2})$

$g(m|x)=N(m|(\sigma ^{2}\mu +r^{2}x)/(\sigma ^{2}+r^{2});(\sigma ^{2}r^{2})/(\sigma ^{2}+r^{2})).$

Storia

Abraham de Moivre, nell'ambito dei suoi studi sulla probabilità, introdusse per la prima volta la distribuzione normale in un articolo del 1733. Gauss, che a quel tempo non era ancora nato, ne fu invece un grande utilizzatore: egli propose la "distribuzione normale" studiando il moto dei corpi celesti. Altri la usavano per descrivere fenomeni anche molto diversi come i colpi di sfortuna nel gioco d'azzardo o la distribuzione dei tiri attorno ai bersagli. Da qui i nomi "curva di Gauss" e "curva degli errori".

Nel 1809 il matematico americano Adrain pubblicò due derivazioni della legge normale di probabilità, simultaneamente e indipendentemente da Gauss I suoi lavori rimasero ampiamente ignorati dalla comunità scientifica fino al 1871, allorché furono "riscoperti" da Cleveland Abbe..

Nel 1835 Quételet pubblicò uno scritto nel quale, fra le altre cose, c'erano i dati riguardanti la misura del torace di soldati scozzesi e la statura dei militari di leva francesi. Quételet mostrò come tali dati si distribuivano come una "Gaussiana", ma non andò oltre.

Fu Galton a intuire che la curva in questione, da lui detta anche "ogiva", poteva essere applicata a fenomeni anche molto diversi, e non solo ad "errori". Questa idea di curva per descrivere i "dati" in generale portò ad usare il termine "Normale", in quanto rappresentava un substrato "normale" ovvero la "norma" per qualsiasi distribuzione presente in natura.

Nel tentativo di confrontare curve diverse, Galton - in mancanza di strumenti adeguati - si limitò ad usare due soli parametri: la media e la varianza, dando così inizio alla statistica parametrica.

Bibliografia

• Sheldon Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Apogeo, 2003, ISBN 9788873038979.
• Stephen M. Stigler, Mathematical Statistics in the Early States, in The Annals of Statistics, vol. 6, n. 2, 1º marzo 1978, pp. 239–265, DOI:10.1214/aos/1176344123.

Voci correlate

• Carl Friedrich Gauss
• Curva di Hubbert
• Distribuzione normale inversa
• Distribuzione normale multivariata
• Funzione gaussiana
• Integrale di Gauss
• Regola 68-95-99,7
• Statistica parametrica
• Teoria delle probabilità
• Teorema di Cochran

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Collegamenti esterni

• (EN) normal distribution, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione normale, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Thermopedia, "Gaussian Distribution"