La geometria non-euclidea/Nota II/La quadrica di Clifford
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LA QUADRICA DI CLIFFORD.
§ 5. Dalle precedenti considerazioni risulta che tutte le rette che si appoggiano a tre parallele destrorse sono fra loro parallele sinistrorse. Infatti, se ABC è una secante comune alle tre rette a, b, c e se si prendono su queste rette, in uno stesso verso1, tre segmenti uguali AA', BB', CC', i punti A', B', C' appartengono ad una retta parallela ad ABC. Il parallelismo fra ABC ed A'B'C' è poi sinistrorso.
Da ciò si deduce che tre parallele a, b, c definiscono una superficie rigata del 2° ordine [quadrica di Clifford], di cui le rette incidenti ad a, b, c costituiscono un primo sistema di generatrici [gs]: il 2° sistema di generatrici [gd] è costituito dalle infinite rette che, come a, b, c, si appoggiano alle gs.
Alla quadrica di CLIFFORD competono le seguenti proprietà caratteristiche:
a) due generatrici d'uno stesso sistema sono fra loro parallele;
b) due generatrici di sistema diverso s'incontrano sotto un angolo costante.
§ 6. Passiamo a dimostrare che la superficie di CLIFFORD ammette due assi distinti di rotazione. Perciò da un punto qualunque M tracciamo le parallele d [destrorsa], s [sinistrorsa] ad una retta r, e indichiamo con delta la distanza MN di ciascuna parallela da r. Tenuta fissa la d facciamo ruotare s intorno ad r e siano s', s, s,... le successive posizioni che acquista s in questa rotazione. È chiaro che s, s', s,... sono tutte parallele sinistrorse ad r e che si appoggiano tutte alla retta d: sicchè s, nella sua rotazione intorno ad r, genera una superficie di CLIFFORD.
Viceversa se d ed s sono due generatrici d'una superficie di CLIFFORD, passanti per un punto M della superficie, e 2 delta l'angolo fra esse compreso, 
possiamo elevare in M la perpendicolare al piano sd e su essa fissare i due, segmenti MN = ML = delta. Denotando poi con D ed S i punti cui la polare di LN incontra rispettivamente le rette d, s e con H il punto di mezzo di DS = 2 delta, le rette HL, HN sono parallele tanto ad s quanto a d. Delle due rette HL, HN scegliamo quella che risulta parallela destrorsa a d e sinistrorsa ad s: sia, ad es., HN. Allora la data superficie di CLIFFORD si può generare con la rotazione di s o d intorno ad HN. Con ciò è provato che ogni superficie di CLIFFORD ammette un asse di rotazione e che tutti i punti della superficie sono equidistanti da esso.
L'esistenza di un altro asse di rotazione risulta immediatamente dall'osservare che tutti i punti dello spazio equidistanti da HN sono pure equidistanti dalla retta polare di HN, la quale sarà perciò il 2° asse di rotazione della superficie di CLIFFORD.
§ 7. L'equidistanza dei punti della superficie di CLIFFORD da ciascun asse di rotazione conduce ad un'altra notevolissima proprietà della superficie. Infatti, ogni piano passante per un asse [r] la interseca in una linea equidistante dall'asse: i punti di tal linea, avendo anche uguali distanze dal punto [O] in cui il piano secante incontra l'altro asse della superficie, appartengono ad un cerchio, il cui centro [O] è il polo di r rispetto alla linea in discorso. I meridiani ed i paralleli della superficie sono dunque cerchi.
La superficie allora potrà generarsi facendo ruotare un cerchio intorno alla polare del suo centro ovvero facendo scorrere un cerchio in modo che il suo centro descriva una retta ed il suo piano si mantenga costantemente ad essa perpendicolare [BIANCHI2].
L'ultimo modo di generazione, appartenendo anche al cilindro euclideo, mette in evidenza l'analogia fra la superficie di CLIFFORD e l'ordinario cilindro circolare. Questa analogia potrebbe svilupparsi ulteriormente considerando le proprietà delle traiettorie [eliche] dei punti della superficie, generate con un movimento elicoidale dello spazio intorno ad uno qualunque degli assi della quadrica.
§ 8. Vediamo finalmente come la geometria sulla superficie di CLIFFORD, intesa nel senso da noi dichiarato nei §§ 67, 68, coincida con quella d'Euclide. Perciò determiniamo la legge secondo cui si misurano, sulla superficie, le distanze elementari [ds]. [vedi figura 69.png]
Siano u, v un parallelo ed un meridiano uscenti da un punto O culla superficie ed M un punto arbitrario di essa: il meridiano ed il parallelo passanti per M intersecano rispettivamente su u e v due archi OP, OQ, le cui lunghezze u, v saranno le coordinate di M. È manifesta l'analogia fra l'adottato sistema di coordinate e il sistema cartesiano ortogonale.
Sia M' un punto infinitamente vicino ad M: se u, v sono le coordinate di M, quelle di M' potranno indicarsi con u + du, v + dv. 
Se ora si considera il triangoletto infinitesimo MM'N, il cui terzo vertice N è il punto in cui s'incontrano il parallelo di M col meridiano di M', è chiaro che l'angolo MNM' è retto e che le lunghezze MN, NM' dei cateti sono precisamente du, dv.
D'altra, parte, il triangolo in discorso può riguardarsi come rettilineo [giacente sul piano tangente in M], sicchè, per le proprietà infinitesimali dei triangoli piani, la sua ipotenusa ds è legata ai cateti du, dv dal teorema di PITAGORA:
ds2 = du2 + dv2.
Ma questa forma pel ds2 è caratteristica della geometria ordinaria, sicchè potremo senz'altro affermare che in ogni regione normale della superficie di CLIFFORD sono verificate le proprietà del piano euclideo.
Un'importante applicazione di questo fatto conduce al calcolo dell'area della quadrica in discorso. Infatti, decomponiamo quest'ultima in tanti parallelogrammi congruenti infinitesimi per mezzo delle sue generatrici: l'area di uno di sifatti parallelogrammi avrà l'ordinaria espressione:
dx . dy . sen teta,
ove dx, dy rappresentano le lunghezze dei lati e teta l'angolo costante fra essi compreso [ang. di due generatrici].
L'area della quadrica sarà allora:
sigma dx . dy .sen teta = sen teta . sigma dx . sigma dy.
Ma entrambe le sommatorie: sigma dx, sigma dy rappresentano la lunghezza l della retta, per cui l'area delta della superficie di CLIFFORD acquista la semplicissima espressione:
delta = l2 . sen teta,
identica a quella che esprime l'area d'un parallelogramma euclideo [CLIFFORD3].
- ↑ È chiaro che fissato un verso sopra una retta, resta pure fissato un verso sopra ogni altra retta ad essa parallela.
- ↑ «Sulle superficie a curvatura nulla in geometria ellittica»; Annali di Mat, (2), XXIV, pag. 107 [1896]. — «Lezioni di Geometria differenziale.», p. 454.
- ↑ «Preliminary Sketch....», citato a nota 177. — Le proprietà della quadrica in discorso, rapidamente accennate da CLIFFORD nel 1873, trovarono un maggiore sviluppo nello scritto di KLEIN: «Zur Nicht-Euklidischen Geometrie.» [Math. Ann. t. XXXVII, p. 544-72, 1890].