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Lobacefski}} e di RIEMANN si può domandare se un tale riscontro possa aver luogo per una qualche superficie particolare.

A questa domanda si risponde così

1°) Non esiste alcuna superficie regolare¹, analitica, su cui valga nella sua integrità la geometria di Lobacefski-Bolyai [Teorema di HILBERT²].

2°) Una superficie su cui valesse nella sua integrità la geometria del piano di Riemann dovrebbe essere necessariamente chiusa.

↑ Cioè priva di singolarità.
↑ «Über Flächen von konstanter Gausscher Krümmung.», Transactions of the American Math. Society, t. II, p. 86-99 [1901]; «Grundlagen der Geometrie.», 2a ediz., p. 162-75 [Leipzig, Teubner, 1903]. La questione risolta col teorema di HILBERT si affacciò ai geometri in seguito all'interpretazione di BELTRAMI della geometria di Lobacefski-Bolyai. — HELMHOLTZ, fin dal 1870, nel suo articolo «Les axiomes de la géométrie.» [Revue des cours scientif., t. VII, p. 499] aveva affermato l'impossibilità di costruire una superficie pseudosferica, estesa indefinitamente in ogni direzione, e A. GENOCCHI, nella «Lettre à Mr. Quetelet sur diverses questions mathématiques.» [Belgique Bull., (2), t. XXXVI, p. 181-98, 1873] e più distesamente nello scritto: «Sur un Mémoire de D. Foncenex et sur les géométries non-euclidiennes.» [Torino, Memorie, (3), t. XXIX, 365-404, 1877], dopo aver rilevato l'insufficienza di certi ragionamenti intuitivi, diretti a provare l'esistenza concreta d'una superficie atta a rappresentare l'intero piano non-euclideo, insiste sulla probabile esistenza di punti singolari, [come, ad es., quelli situati sulla linea di regresso della fig. 47], in ogni modello concreto di superficie a curvatura costante negativa. Sul teorema di HILBERT aggiungiamo che il carattere analitico della superficie, ammesso dall'autore, fu dimostrato superfluo. Vedi in proposito la dissertazione di G. LÜTKEMEYER: «Uber den analytischen Charakter der Integrale von partiellen Differential-gleichungen.», [Göttingen 1902] e la nota di E. HOLMGREN: «Sur les surfaces à courbure constante negative.», Comptes Rendus, I° sem. 1902, p. 840-43.

[1] Cioè priva di singolarità.

[2] «Über Flächen von konstanter Gausscher Krümmung.», Transactions of the American Math. Society, t. II, p. 86-99 [1901]; «Grundlagen der Geometrie.», 2a ediz., p. 162-75 [Leipzig, Teubner, 1903]. La questione risolta col teorema di HILBERT si affacciò ai geometri in seguito all'interpretazione di BELTRAMI della geometria di Lobacefski-Bolyai. — HELMHOLTZ, fin dal 1870, nel suo articolo «Les axiomes de la géométrie.» [Revue des cours scientif., t. VII, p. 499] aveva affermato l'impossibilità di costruire una superficie pseudosferica, estesa indefinitamente in ogni direzione, e A. GENOCCHI, nella «Lettre à Mr. Quetelet sur diverses questions mathématiques.» [Belgique Bull., (2), t. XXXVI, p. 181-98, 1873] e più distesamente nello scritto: «Sur un Mémoire de D. Foncenex et sur les géométries non-euclidiennes.» [Torino, Memorie, (3), t. XXIX, 365-404, 1877], dopo aver rilevato l'insufficienza di certi ragionamenti intuitivi, diretti a provare l'esistenza concreta d'una superficie atta a rappresentare l'intero piano non-euclideo, insiste sulla probabile esistenza di punti singolari, [come, ad es., quelli situati sulla linea di regresso della fig. 47], in ogni modello concreto di superficie a curvatura costante negativa. Sul teorema di HILBERT aggiungiamo che il carattere analitico della superficie, ammesso dall'autore, fu dimostrato superfluo. Vedi in proposito la dissertazione di G. LÜTKEMEYER: «Uber den analytischen Charakter der Integrale von partiellen Differential-gleichungen.», [Göttingen 1902] e la nota di E. HOLMGREN: «Sur les surfaces à courbure constante negative.», Comptes Rendus, I° sem. 1902, p. 840-43.

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