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Se componiamo P1 con P2 e P3 con P4, otteniamo due forze R1, R2, d'intensità:
2 P. ƒ (beta)
formanti fra loro l'angolo 2alfa. Componendo R1 ed R2 in un'unica forza R, otterremo:
R = 4 P. ƒ (alfa). ƒ (beta),
D'altra parte, componendo P1 con P4 e P2 con P3 si ottengono due risultanti parziali, aventi entrambe la direzione di R e rispettivamente le intensità:
2 P. ƒ (alfa + beta) , 2 P. ƒ (alfa – beta)
Queste due forze si compongono per somma e danno:
R = 2 P. (ƒ (alfa + beta) + ƒ (alfa – beta).
Dal paragone dei due valori di R si deduce:
(1) 2 ƒ (alfa). ƒ (beta) = ƒ (alfa + beta) + ƒ (alfa – beta)
cioè l'equazione funzionale richiesta.
Se ora ricordiamo che:
cos (alfa + beta) + cos (alfa – beta) = 2 cos alfa . cos beta,
e teniamo presente l'identità fra i valori di ƒ (alfa) e cos alfa, dati dalla precedente tabella, e l'ipotesi della continuità di ƒ (alfa), senza ulteriori sviluppi potremo scrivere:
ƒ (alfa) = cos alfa,
e conseguentemente:
R = 2 P. cos alfa.
