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ulisse dini

poichè la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ è divergente: per questa dalla (7) si avrà

$\lim h'_{n}=\lim\{\theta (n)h_{n}\},$

e quindi, se $h_{n}$ ha, come si è supposto un limite finito, la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}$, con $\theta (n)$ decrescente indefinitamente, renderà dubbio il criterio poichè si avrà $\lim h'_{n}=0$.

2º Caso: $\theta (n)$ differente da zero e finito. In questo caso, applicando il criterio del num. 19 alla serie $\sum v_{n}=\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}$ e servendosi per questo della $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$, si vede che si dovrà avere (num. 19)

$\lim \left[{\frac {\varphi (n+1)\{\theta (n+1)-\theta (n)\}}{\theta (n)}}\right]=0,$

giacchè la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}$ è divergente e $\varphi (n)v_{n}={\frac {1}{\theta (n)}}$ ha un limite finito.

Dunque, poichè $\theta (n)$ è sempre finito, si avrà anche

$\lim[\varphi (n+1)\{\theta (n+1)-\theta (n)\}]=0,$

e perciò dalla (7) risulterà ancora

$\lim h'_{n}=\lim\{\theta (n)h_{n}\};$

e quindi $h'_{n}$ avrà un limite finito e diverso da zero come $h_{n}$, e la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}$ servirà appunto come la $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$.

3º Caso: $\theta (n)$ crescente indefinitamente con $n$.

In questo caso dalla (7) si vede subito che, se $h_{n}$ ha un limite differente da zero e negativo, $h'_{n}$ avrà per limite l’infinito negativo; e se $h_{n}$ ha un limite differente da zero e positivo, $h'_{n}$ avrà per limite l’infinito positivo, giacchè siccome la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}$ è divergente, si avrà per essa

$\lim {\frac {\varphi (n+1)\{\theta (n+1)-\theta (n)\}}{\theta (n)}}=0;$