Eccentricità (matematica)

L'eccentricità in matematica è un parametro numerico non negativo $e$ che caratterizza le sezioni coniche a meno di similitudine: ellissi per $0\leq e<1$ (in particolare circonferenze per $e=0$), parabole per $e=1,$ iperboli per $e>1.$ L'eccentricità può essere interpretata come una misura di quanto una sezione conica è lontana dall'essere una circonferenza.

L'eccentricità può essere definita come un parametro che interviene nella costruzione di una conica, oppure in funzione degli angoli del cono e del piano che lo seziona, rispetto all'asse di rotazione del cono. Siccome il "tipo" di conica (la sua classe di similitudine) e le sue caratteristiche sono definiti in funzione dell'eccentricità, questa può essere ricavata indirettamente dalle formule.

Definizione

Costruzione geometrica

Costruzione geometrica della parabola (e=1)

Fissati nel piano una retta $r$ (direttrice) e un punto $F$ (fuoco) esterno a $r$, una conica di eccentricità $e>0$ è il luogo dei punti $P$ che hanno distanza dal fuoco pari a $e$ volte la loro distanza dalla direttrice:

$d(P,F)=e\cdot d(P,r).$

Sezione conica

Sezione conica

Fissati nello spazio un cono circolare retto di apertura $\alpha$ (l'angolo tra l'asse di rotazione e la retta generatrice del cono) e un piano non passante per il vertice, che forma un angolo $\beta$ con l'asse di rotazione del cono; l'eccentricità della sezione conica è definita come:

$e={\frac {\cos \beta }{\cos \alpha }},\quad 0<\alpha <{\frac {\pi }{2}},\ 0\leq \beta \leq {\frac {\pi }{2}}.$

Classificazione

Ellisse

Per $e<1$, ovvero $\beta >\alpha$, si ha un'ellisse, che ha $F$ come uno dei due fuochi.

Scrivendo l'equazione dell'ellisse in forma canonica

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1,$

l'eccentricità $e$, l'asse maggiore $2a$, l'asse minore $2b$ e la distanza interfocale $2c$ sono legati tra loro dalle formule

$a^{2}=b^{2}+c^{2},$

$c=ea,$

$b^{2}=(1-e^{2})a^{2}.$

Invertendo le formule si può esprimere l'eccentricità come

$e={\sqrt {1-\left({\tfrac {b}{a}}\right)^{2}}},$

$e={\frac {c}{a}}.$

L'eccentricità fornisce dunque una misura di quanto l'ellisse sia "schiacciata", anche se in maniera meno diretta del rapporto $a/b$ tra i semiassi. In particolare per $e=0$, ovvero $a=b$, l'ellisse diventa una circonferenza (solo come sezione conica: con la costruzione geometrica si ottiene il solo punto $F$).

Parabola

Per $e=1$, ovvero $\beta =\alpha$ si ottiene una parabola avente fuoco $F$ e direttrice $r$: è il luogo dei punti equidistanti da $F$ e da $r$.

Iperbole

Per $e>1$, ovvero $\beta <\alpha$, si ha un'iperbole, uno dei cui due fuochi è $F$.

Scrivendo l'equazione dell'iperbole in forma canonica

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1,$

con asintoti

$y=\pm {\frac {b}{a}}x,$

l'eccentricità $e$, la distanza tra i vertici $2a$, i coefficienti angolari $\pm b/a$ degli asintoti e la distanza interfocale $2c$ sono legati tra loro dalle formule

$a^{2}+b^{2}=c^{2},\qquad b^{2}=(e^{2}-1)a^{2},\qquad c=ea.$

Invertendo le formule si può esprimere l'eccentricità come

$e={\sqrt {1+\left({\tfrac {b}{a}}\right)^{2}}},\qquad e={\frac {c}{a}}.$

L'eccentricità fornisce dunque una misura di quanto l'iperbole sia "schiacciata", anche se in maniera meno diretta dei coefficienti angolari $\pm a/b$ degli asintoti.

In particolare per $e={\sqrt {2}}$, ossia quando l'iperbole è equilatera (cioè $a=b$), questo è possibile solo se

${\cos \alpha }={\frac {\cos \beta }{\sqrt {2}}}\leq {\frac {1}{\sqrt {2}}},$

ossia solo se ${\alpha }\geq {\frac {\pi }{4}}$, geometricamente questo avviene solo quando l'angolo formato dalla sezione assiale del cono supera un angolo retto.

Voci correlate

• Classe di equivalenza
• Cono circolare retto
• Ellisse
• Iperbole (geometria)
• Parabola (geometria)
• Sezione conica
• Similitudine (geometria)

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) eccentricity, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Eccentricità, su MathWorld, Wolfram Research.

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