Frontiera (topologia)

In topologia, la frontiera o contorno o bordo di un sottoinsieme S di uno spazio topologico X è la chiusura dell'insieme meno il suo interno. Un elemento della frontiera di S è chiamato punto di frontiera di S. Le notazioni usate per indicare la frontiera di un insieme S includono b(S)^[1] , bd(S), fr(S), e $\partial S$ .

Esistono altri due modi equivalenti per definire la frontiera di S e i punti di frontiera di S.

Si definisce frontiera di S l'intersezione fra la chiusura di S e la chiusura del suo complementare.
Si definisce frontiera di S l'insieme dei punti p in X tali che ogni intorno di p contiene almeno un punto di S e almeno un punto non appartenente a S.

Proprietà

La frontiera di un insieme è chiusa.
La frontiera di un insieme è uguale all'intersezione fra la chiusura dell'insieme e la chiusura del suo complemento.
Un insieme è chiuso se e solo se la frontiera dell'insieme è contenuta nell'insieme, e aperto se e solo se è disgiunto dalla sua frontiera.
La frontiera di un insieme è uguale alla frontiera del suo complemento.
La chiusura di un insieme è uguale all'unione dell'insieme con la sua frontiera.
La frontiera di un insieme è vuota se e solo se l'insieme è contemporaneamente chiuso e aperto (cioè se è un insieme chiuso-aperto).

Esempi

Consideriamo l'usuale topologia dell'asse reale; se $X=[0,5)$ , allora $\partial X=\{0,5\}$ .
$\partial {\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)={\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)-B(\mathbf {a} ,r)$
$\partial D^{n}\simeq S^{n-1}$
$\partial \varnothing =\varnothing$
Se Ω denota il disco caratterizzato dalla disuguaglianza x²+y² ≤ 1, in R³ si ha ∂Ω = Ω, mentre in R², ∂Ω = {(x, y) | x²+y² = 1}. Quindi, la frontiera di un insieme può dipendere dall'insieme in cui è immerso.