Funzione Gamma

In matematica, la funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo $n$ si ha:

\Gamma (n+1)=n!

,

dove $n!$ denota il fattoriale di $n,$ cioè il prodotto dei numeri interi da $1$ a $n$ : $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$ .

Definizione

Valore assoluto della funzione gamma sul piano complesso

La notazione $\Gamma (z)$ è dovuta a Legendre. Se la parte reale del numero complesso $z$ è positiva, allora l'integrale

\Gamma (z)=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt

converge assolutamente. Comunque, usando la continuazione analitica, si può estendere la definizione della $\Gamma$ a tutti i numeri complessi $z$ , anche con parte reale non positiva, ad eccezione degli interi minori o uguali a zero. Usando l'integrazione per parti, in effetti, si può dimostrare che:

\Gamma (z+1)=z\Gamma (z),

per cui si ha:

\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}.

In questo modo, la definizione della $\Gamma$ può essere estesa dal semipiano $\mathrm {Re} (z)>0$ a quello $\mathrm {Re} (z)>-1$ (ad eccezione del polo in $z=0$ ), e successivamente a tutto il piano complesso (con poli in $z=0,-1,-2,\dots$ ).

Siccome $\Gamma (1)=1$ , la relazione riportata sopra implica, per tutti i numeri naturali $n$ , che:

\Gamma (n+1)=n!.

In statistica si incontra di frequente (per esempio nella variabile casuale normale) l'integrale:

\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx={\sqrt {2\pi }}

che si ottiene ponendo ${\textstyle {\frac {x^{2}}{2}}=t}$ , e quindi $x={\sqrt {2t}}$ , ottenendo quindi ${\textstyle dx={\frac {\sqrt {2}}{2{\sqrt {t}}}}dt}$

{\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx&=2\int _{0}^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx\\&=2\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sqrt {2}}{2}}t^{-{\frac {1}{2}}}e^{-t}dt\\&={\sqrt {2}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\\&={\sqrt {2\pi }}\end{aligned}}

Espressioni alternative

Le seguenti espressioni alternative per la funzione Gamma, sono valide su tutto il piano complesso (ad eccezione dei poli):

\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!n^{z}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}

dovuta a Gauss,

\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},

dove $\gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni, dovuta a Schlömilch e ottenibile applicando il teorema di fattorizzazione di Weierstrass alla funzione ${\frac {1}{\Gamma (z)}}$

{\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}.

Un'ulteriore espressione alternativa è la seguente:

\Gamma (z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {1}{z+n}}+\int _{1}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}dt.

In questa formula sono espliciti i poli di ordine $1$ e residuo ${\frac {(-1)^{n}}{n!}}$ che la funzione Gamma ha in $z=-n$ , per ogni $n$ intero non negativo.

La singolarità nell'origine può essere anche dedotta dalla relazione di ricorrenza. Infatti

\lim _{z\to 0}\Gamma (z)=\lim _{z\to 0}{\frac {\Gamma (z+1)}{z}}=\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}},

dove è stato fatto uso della relazione $\Gamma (1)=1$ .

Proprietà

Altre importanti proprietà della funzione Gamma sono la formula di riflessione di Eulero:

\Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi  \over \sin(\pi z)},\qquad z\not \in \mathbb {Z} ,

e quella di duplicazione:

\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (2z)

che a sua volta è un caso particolare della formula di moltiplicazione:

\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}m^{1/2-mz}\Gamma (mz)

la quale per $z=0$ diventa:

\Gamma \left({\frac {1}{m}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left({\frac {m-1}{m}}\right)={\frac {(2\pi )^{(m-1)/2}}{\sqrt {m}}}.

Quest'ultima identità è ottenibile anche dalla formula di riflessione e dall'identità trigonometrica $\prod _{k=1}^{m-1}\sin {\frac {k\pi }{m}}={\frac {m}{2^{m-1}}}$ .

Le derivate della funzione Gamma:

\Gamma ^{(n)}(z)=\int _{0}^{+\infty }[\ln {(t)}]^{n}\,t^{z-1}\,e^{-t}\,dt

possono essere espresse in funzione della stessa funzione Gamma e di altre funzioni, per esempio:

\Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z),

dove $\psi _{0}$ è la funzione poligamma di ordine zero. In particolare,

\Gamma '(1)=-\gamma ,

dove $\gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni.

Si ha, inoltre:

{\frac {d}{dz}}\ln {\Gamma {(z)}}={\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{0}(z)=-\gamma -{\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n+z}}-{\frac {1}{n}}\right)

che per $z=m$ intero positivo si riduce ad una somma finita

\psi _{0}(m)={\frac {\Gamma '{(m)}}{\Gamma {(m)}}}=-\gamma +1+{\frac {1}{2}}+\dots +{\frac {1}{m-1}}=-\gamma +H_{m-1},

dove $H_{m-1}$ è l'(m-1)-esimo numero armonico.

Derivando membro a membro rispetto a $z$ si ha, ancora,

{\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+z)^{2}}}

che per $z=0$ diverge, mentre per $z=1$ diviene la serie armonica generalizzata di ordine 2

\left[{\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}\right]_{z=1}=\psi _{1}(1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.

Lukacs studiò altre proprietà nell'opera A Characterization of the Gamma Distribution negli Annals of Mathematical Statistics del 1955.

Ricordiamo anche che, a partire dalla funzione Gamma, la funzione poligamma di ordine $m$ è definita nel modo seguente:

\psi _{m}(z):=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m+1}\ln {\Gamma (z)}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}{\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}\psi _{0}(z).

Valori notevoli

Probabilmente, il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi è:

\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},

che si può trovare ponendo $z={\frac {1}{2}}$ nella formula di riflessione.

Oltre a questo e al già citato valore assunto sui numeri naturali, sono interessanti anche le seguenti proprietà, che interessano i multipli dispari di ${\frac {1}{2}}$

\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)={\frac {(n-2)!!}{2^{(n-1)/2}}}{\sqrt {\pi }}={{\frac {n}{2}}-1 \choose {\frac {n-1}{2}}}\left({\frac {n-1}{2}}\right)!{\sqrt {\pi }},

\Gamma \left(-{\frac {n}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{{\Biggl (}{\begin{matrix}-1/2\\{\frac {n+1}{2}}\end{matrix}}{\Biggr )}\left({\frac {n+1}{2}}\right)!}},

dove $n!!$ denota il semifattoriale e la parentesi tonda a due livelli il coefficiente binomiale.

Teorema di unicità

Il teorema di Bohr-Mollerup afferma che, tra tutte le funzioni che estendono la funzione fattoriale, solo la funzione Gamma è tale che il suo logaritmo è una funzione convessa.

Bibliografia

Donato Greco, Complementi di Analisi, capitolo 12, Napoli, Liguori Editore, 1978, pp. 227-248, ISBN 88-207-0325-4.
Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Due, capitolo 8, Napoli, Liguori Editore, 1996, ISBN 978-88-207-2675-1.
(EN) Milton Abramowitz e Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions, capitolo 6, New York, 1964.
(DE) Niels Nielsen, Handbuch der theorie der gammafunktion, Lipsia, 1906.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

Eulero, funzione gamma di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
Funzione gamma, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN) gamma function, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Opere riguardanti Gamma functions, su Open Library, Internet Archive.
(EN) Eric W. Weisstein, Gamma Function, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Gamma-function, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
Capitolo dedicato alla Gamma Function nella Digital Library of Mathematical Functions

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