Funzione di ripartizione empirica

In statistica e teoria della probabilità, la funzione di ripartizione empirica (o funzione cumulativa empirica o ECDF) è una funzione di variabile reale che rappresenta la funzione di ripartizione della misura empirica di un campione. La funzione di ripartizione empirica è una stima della vera funzione di ripartizione che ha generato il campione e grazie al teorema di Glivenko-Cantelli è possibile affermare che essa converge per $n\to \infty$ con probabilità 1 alla distribuzione del campione.

La linea verde identifica la funzione di ripartizione di una variabile casuale normale. La linea blu è la funzione di ripartizione empirica calcolata a partire dal campione normale indicato in grigio sull'asse X

Definizione

Siano $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ $n$ variabili indipendenti e identicamente distribuite con la stessa funzione di ripartizione $F(x)$. Allora, la funzione di ripartizione empirica può essere scritta come:

$F_{n}(x)={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}I_{[-\infty ,x]}(X_{i})$

dove $I_{[-\infty ,x]}(X_{i})$ è la funzione indicatrice, uguale a 1 se $X_{i}\leq x$ e uguale a 0 altrimenti. È possibile equivalentemente scriverla nella sua forma estesa come:

$F_{n}(x)={\begin{cases}0&x<X_{(1)}\\{\frac {k}{n}}&X_{(k)}<x<X_{(k+1)}\quad \forall k=1,2,...,n-1\\1&x>X_{(n)}\end{cases}}$

Da cui segue che

$nF_{n}(x)\sim {\text{Bin}}(n,F(x)).$

Proprietà

La funzione di ripartizione empirica è uno stimatore corretto e consistente della funzione di ripartizione.

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