Raggio (geometria)

Secondo la definizione moderna della geometria, il raggio di un cerchio o di una sfera è un segmento di retta avente un estremo sulla circonferenza o superficie sferica e l'altro estremo nel centro della figura. Per estensione si definisce raggio di un cerchio o di una sfera anche la lunghezza di un tale segmento. Il raggio misura la metà del diametro.

Più generalmente — in geometria, ingegneria, teoria dei grafi, e in molti altri settori — il raggio di qualcosa (per esempio di un cilindro, di un grafo, o di un componente meccanico) è la distanza dei suoi punti più esterni dal centro o asse.

La definizione di raggio data per i cerchi e per le sfere si lascia estendere naturalmente al caso di iperspazi con più di tre dimensioni. Generalmente, un segmento che congiunge un punto di un'ipersfera al suo centro è un raggio dell'ipersfera.

In una spirale il raggio è una funzione dell'angolo. Tutte le circonferenze sono assimilabili a spirali con raggio costante.

Formule per i cerchi

Raggio dal diametro

Il raggio $R$ di un cerchio avente diametro $d$ è

R={\frac {d}{2}}.

Raggio dalla circonferenza

Il raggio $R$ di un cerchio avente circonferenza $C$ è

R={\frac {C}{2\pi }}.

Raggio del cerchio

Il raggio $R$ di un cerchio avente area $A$ è

R={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}.

Il raggio $R$ della circonferenza che attraversa tre punti non collineari $P_{1},P_{2},P_{3}$ è dato da

R={\frac {|{\vec {OP_{1}}}-{\vec {OP_{3}}}|}{2\sin \theta }},

dove $\theta$ è l'angolo $\angle P_{1}P_{2}P_{3}.$ La formula è calcolata utilizzando il teorema dei seni.

Con riferimento alla figura a destra, lo stesso raggio $R$ può anche essere espresso nel modo seguente:

R={\frac {a}{2\sin \alpha }},

dove $a$ indica la lunghezza del segmento di estremi $B$ e $C,$ mentre $\alpha$ è l'angolo $\angle BAC.$

Pertanto, se consideriamo tre punti di coordinate $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ e $(x_{3},y_{3}),$ il raggio della circonferenza che li attraversa è dato da:

R={\frac {\sqrt {((x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2})((x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2})((x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2})}}{2|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}|}}.

Raggio dell'ellisse

Il raggio medio $R$ di un'ellisse è definito come il raggio di un cerchio di area (superficie) uguale a quella dell'ellisse.

È uguale alla radice quadrata del prodotto dei due semiassi dell'ellisse:

R={\sqrt {ab}}=a{\sqrt[{4}]{1-e^{2}}}.

Si definisce cerchio principale di un'ellisse, il cerchio con centro nel centro dell'ellisse e di raggio $a,$ uguale al semiasse maggiore dell'ellisse.

Si definisce cerchio secondario di un'ellisse, il cerchio con centro nel centro dell'ellisse e di raggio $b,$ uguale al semiasse minore dell'ellisse.

Raggio del poligono

Il raggio di un poligono regolare è il segmento che unisce il centro a uno dei suoi vertici. Pertanto, la lunghezza di tale segmento è uguale al raggio della circonferenza circoscritta al poligono.

Il raggio $R$ di un poligono di $n$ lati di lunghezza $a_{n}$ ciascuno, è dato da:

R={\sqrt {\frac {(a_{n})^{2}}{2-2\cos(2\pi /n)}}}={\frac {a_{n}}{2\sin(\pi /n)}}.

Il raggio in funzione della lunghezza dell'apotema $h$ , è dato da:

R={\frac {h}{\cos(\pi /n)}}.

Raccogliendo tutte le costanti (nella prima delle due formule), si può scrivere che il raggio $R$ del poligono è $R=R(a_{n},n)$ , ed è dato da $R=r_{n}a_{n},$ con $r_{n}=1/\left(2\sin {\frac {\pi }{n}}\right).$