Utente:Ming mm/Gruppo dei quaternioni

ghjhgghjkgh

Diagramma del ciclo di Q ₈ . Ogni colore specifica una serie di potenze di qualsiasi elemento connesso all'elemento identità e = 1. Ad esempio, il ciclo in rosso riflette il fatto che i ² = e, i ³ = i e i ⁴ = e. Il ciclo rosso riflette anche che i ² = e, i ³ = i e i ⁴ = e.

Nella teoria dei gruppi, il gruppo di quaternioni Q ₈ (a volte indicato solo con Q) è un gruppo non abeliano di ordine otto, isomorfo al sottoinsieme degli otto elementi $\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}$ dei quaternioni sotto moltiplicazione. È dato dalla presentazione di gruppo

$\mathrm {Q} _{8}=\langle {\bar {e}},i,j,k\mid {\bar {e}}^{2}=e,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk={\bar {e}}\rangle ,$

$\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .$

	D 8	D <sub id="mwOw">4</sub>
Grafico di Cayley	</img> </br> Le frecce rosse connettono g → gi, le frecce verdi connettono g → gj .	</img>
Grafico del ciclo	</img>	</img>

Nei diagrammi per D ₄, gli elementi del gruppo sono contrassegnati con la loro azione su una lettera F nella rappresentazione di definizione R ² . Lo stesso non può essere fatto per Q ₈, poiché non ha una rappresentazione fedele in R ² o R ³ . D ₄ può essere realizzato come un sottoinsieme dei quaternioni divisi nello stesso modo in cui Q ₈ può essere visto come un sottoinsieme dei quaternioni.

Tavolo Cayley

La tabella di Cayley (tavola pitagorica) per Q ₈ è data da:

×	e	e	i	i	j	j	K	k
e	e	e	i	i	j	j	K	k
e	e	e	i	i	j	j	k	K
i	i	i	e	e	K	k	j	j
i	i	i	e	e	k	K	j	j
j	j	j	k	K	e	e	i	i
j	j	j	K	k	e	e	i	i
K	K	k	j	j	i	i	e	e
k	k	K	j	j	i	i	e	e

Proprietà

[[Categoria:Quaternioni]] [[Categoria:Teoria dei gruppi]]