インダクタンス （英 : inductance ）は、コイル などにおいて電流 の変化が誘導起電力となって現れる性質である。誘導係数 、誘導子 とも言う。インダクタンスを目的とするコイルをインダクタ といい、それに使用する導線を巻線 という。
相互誘導を利用した変圧器 回路に電流が流れると周囲に磁場が形成される。巻線に電流 I が流れるときの巻線を貫く磁束 Φ であるときの比例係数 L がインダクタンスである。
Φ
=
L
I
{\displaystyle {\mathit {\Phi }}=LI}
インダクタに流れる電流 I が時間変化すると電磁誘導 により磁場が発生し、さらにその磁場がインダクタに起電力 V を誘導する。I の変化が起こったインダクタと起電力 V が生じたインダクタが同一であるケースにおけるこの現象のことを自己誘導 と呼び、
そうでないケースにおけるこの現象のことを相互誘導
またこの際 I の変化率と V とは適切な条件下近似的に比例することが知られており、この際の比例係数をインダクタンス という。ここで「適切な条件」とは以下を指す。
回路が作る電場 の変化は十分遅い（準静的過程 ）等の理由で電場の時間微分は無視できるほど小さい。
インダクタの長さは十分長い。 自己誘導におけるインダクタンスは自己インダクタンス と呼んで通常記号 L で表し、相互誘導におけるインダクタンスは相互インダクタンス と呼んで通常記号 M で表す。
式で表せばそれぞれ、
V
=
L
d
I
d
t
{\displaystyle V=L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}}
V
=
M
d
I
d
t
{\displaystyle V=M{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}}
国際単位系 (SI) におけるインダクタンスの単位は H（ヘンリー T −2 L 2 M I −2 の次元を持つ。
インダクタがソレノイド・コイル である場合、自己インダクタンスは以下のように書き表せることが知られている。
L
=
μ
N
2
|
S
|
ℓ
{\displaystyle L={\frac {\mu N^{2}|S|}{\ell }}}
ここで μ はコイルの芯の透磁率、N はコイルの巻数、
ℓ
{\displaystyle \ell }
S |はコイルの断面の面積である。
また相互誘導において2つのインダクタがいずれもソレノイド・コイル であるとき、誘導する側のコイルを1次コイル、誘導される側のコイルを2次コイルと呼ぶことにすると、相互インダクタンスは以下のように書き表せることが知られている。
M
=
k
μ
1
N
1
N
2
|
S
1
|
ℓ
1
{\displaystyle M=k{\frac {\mu _{1}N_{1}N_{2}|S_{1}|}{\ell _{1}}}}
ここで μ 、N 、
ℓ
{\displaystyle \ell }
S |の意味は自己インダクタンスの時と同様であるが、添字1、2がついているものはそれぞれ1次コイル、2次コイルに関する値である。k は結合係数 k ≦1）で1次コイルを出た磁束 Φ のうち k Φ が2次コイルに入ることを指す。
以上の式から明らかなように、透磁率や結合係数に影響するコイルの長さと太さと芯の材質が1次コイル、2次コイルで同じ時は、
M
=
k
L
1
L
2
{\displaystyle M=k{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}
が成り立つ。
上述した自己インダクタンスの式
V
=
L
d
I
d
t
{\displaystyle V=L{\tfrac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}}
V
=
M
d
I
d
t
{\displaystyle V=M{\tfrac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}}
マクスウェル方程式 から導く。
まず相互インダクタンスの式の証明の概略を述べる。前述のように相互インダクタンスは次のような手順で生じる。
一次コイルの電流の時間変化
d
I
1
d
t
{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} I_{1}}{\mathrm {d} t}}}
d
Φ
1
d
t
{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} \Phi _{1}}{\mathrm {d} t}}}
Φ1 のうち割合 k が二次コイルに流れ込む。
二次コイルに流れ込んだ磁束
Φ
2
=
k
Φ
1
{\displaystyle \Phi _{2}=k\Phi _{1}}
V 2 この1, 2の手順を数式でより正確に書くと、以下のようになる（これらの式は後で証明する）。なお下式では前節で用いた記号を流用した。
d
Φ
1
d
t
=
μ
N
1
|
S
1
|
ℓ
1
d
I
1
d
t
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{1}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mu N_{1}|S_{1}|}{\ell _{1}}}{\frac {\mathrm {d} I_{1}}{\mathrm {d} t}}}
(A )
d
Φ
2
d
t
=
1
N
2
V
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{2}}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{N_{2}}}V_{2}}
(B )
M
=
k
μ
1
N
1
N
2
|
S
1
|
ℓ
1
{\displaystyle M=k{\tfrac {\mu _{1}N_{1}N_{2}|S_{1}|}{\ell _{1}}}}
Φ
2
=
k
Φ
1
{\displaystyle \Phi _{2}=k\Phi _{1}}
(A) (B)
一方自己インダクタンスの式は、上の議論で1次コイル＝2次コイルとすればやはり明らかに従う。（ここで自分自身との結合係数は1であることを用いた。）
よって後は(A) (B)
以下の議論は全て1次コイルに関するものなので、記号を簡単にするため Φ1 、N 1
断面 S 、高さ
ℓ
{\displaystyle \ell }
S
×
[
0
,
ℓ
]
{\displaystyle S\times [0,\ell ]}
N 回導線が巻きついた
インダクタ（ソレノイド・コイル ）を考える。
S 上の任意の一点 P を固定し、以下のような曲線を考え、さらにこの曲線を縁に持つ曲面 K を考える。
円柱内を (P , 0) から (P , 1) へとまっすぐ進み（曲線のこの部分を以下 C P
円柱の外側を通って (P , 1) から (P , 0) へと戻る（曲線のこの部分を以下C' P 「
∂
K
{\displaystyle \partial K}
K の境界とすると、定義より以下が成り立つ：
∂
K
=
C
P
∪
C
P
′
{\displaystyle \partial K=C_{P}\cup C'_{P}}
(1 )
j 電流の密度 、E j H E 磁場 とすると、以下が成立する：
N
d
I
d
t
=
(
2
)
d
d
t
∫
K
j
⋅
d
S
≈
(
3
)
d
d
t
∫
K
∇
×
H
⋅
d
S
=
(
4
)
d
d
t
∫
∂
K
H
⋅
d
s
.
=
(
5
)
d
d
t
∫
C
P
∪
C
P
′
H
⋅
d
s
≈
(
6
)
d
d
t
∫
C
P
H
⋅
d
s
{\displaystyle N{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}{\underset {(2)}{=}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{K}{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}{\underset {(3)}{\approx }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{K}\nabla \times {\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}{\underset {(4)}{=}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\partial K}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}.{\underset {(5)}{=}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{C_{P}\cup C'_{P}}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}{\underset {(6)}{\approx }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{C_{P}}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}
(7 )
ここで(4)と(5)はそれぞれストークスの定理 と(1)
(2)：電流密度の定義より、電流密度 j I に等しい。定義より K は導線と N 回交わるので、
∫
K
j
⋅
d
S
=
N
I
{\displaystyle \int _{K}{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=NI}
(3)：マクスウェル方程式
∇
×
H
=
j
+
ε
∂
E
∂
t
{\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {j}}+\varepsilon {\tfrac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}}
∂
E
∂
t
{\displaystyle {\tfrac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}}
ε はインダクタの芯を構成する物質の誘電率 である。
(6)：インダクタの内部では磁力線 が密につまっておりしかもその向きが揃っているのに対し、インダクタの外側では磁力線はちらばっており向きも揃っていない。従ってインダクタの長さが十分長ければ、(6)の右辺の線積分は積分経路が C P C P (7) P に関して積分することで、
N
∫
P
∈
S
d
I
d
t
d
S
=
∫
P
∈
S
d
d
t
∫
C
P
H
⋅
d
s
d
S
{\displaystyle N\int _{P\in S}{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=\int _{P\in S}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{C_{P}}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\mathrm {d} {\boldsymbol {S}}}
(8 )
(8) S |を S の面積とすれば、
N
∫
P
∈
S
d
I
d
t
d
S
=
N
|
S
|
d
I
d
t
{\displaystyle N\int _{P\in S}{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=N|S|{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}}
(9 )
が成り立つ。
一方(8)
∫
P
∈
S
d
d
t
∫
C
P
H
⋅
d
s
d
S
=
d
d
t
∫
S
×
[
0
,
ℓ
]
H
⋅
d
V
=
d
d
t
∫
0
ℓ
∫
S
H
⋅
d
S
d
s
≈
(
10
)
ℓ
d
d
t
∫
S
H
⋅
d
S
=
(
11
)
ℓ
μ
d
Φ
d
t
{\displaystyle \int _{P\in S}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{C_{P}}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\mathrm {d} {\boldsymbol {S}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S\times [0,\ell ]}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {V}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{\ell }\int _{S}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}{\underset {(10)}{\approx }}\ell {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}{\underset {(11)}{=}}{\frac {\ell }{\mu }}{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}}
(12 )
ここで μ はインダクタの芯を構成する物質の透磁率 であり、(11)は磁束の定義から従う。
一方(10)は以下の理由により従う：インダクタが十分長いという仮定より、インダクタを構成する円柱のどの断面でも磁束 はほぼ等しくなる。
(A) (8) (9) (12)
以下の議論は全て2次コイルに関するものなので、記号を簡単にするため Φ2 、N 2
(B)
d
Φ
d
t
=
(
13
)
μ
∫
S
∂
H
∂
t
⋅
d
S
=
(
14
)
−
∫
S
∇
×
E
⋅
d
S
=
(
15
)
−
∫
∂
S
E
⋅
d
s
=
(
16
)
1
N
V
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}{\underset {(13)}{=}}\mu \int _{S}{\frac {\partial {\boldsymbol {H}}}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}{\underset {(14)}{=}}-\int _{S}\nabla \times {\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}{\underset {(15)}{=}}-\int _{\partial S}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}{\underset {(16)}{=}}{\frac {1}{N}}V}
(17)
ここで μ は真空の透磁率であり、
(13)、(14)、(15)はそれぞれ磁束の定義、マクスウェル方程式
∇
×
E
=
−
μ
∂
H
∂
t
{\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {E}}=-\mu {\tfrac {\partial {\boldsymbol {H}}}{\partial t}}}
ストークスの定理 から従う。(16)は
−
∫
∂
S
E
⋅
d
s
{\displaystyle -\int _{\partial S}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}
V がN 周分の電位であることから従う。
![{\displaystyle S\times [0,\ell ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8bd514e8fbad4c8fc5cdaa6cf5570f1f9b328d)
![{\displaystyle \int _{P\in S}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{C_{P}}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\mathrm {d} {\boldsymbol {S}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S\times [0,\ell ]}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {V}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{\ell }\int _{S}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}{\underset {(10)}{\approx }}\ell {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}{\underset {(11)}{=}}{\frac {\ell }{\mu }}{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfa4813b72f83c56e3b1f90ae1923bcd14bf6e24)
