二乗平均平方根 （にじょうへいきんへいほうこん、英 : root mean square 、RMS）とは、データ や確率変数 を二乗 した値の算術平均 の平方根 である。結果として単位が元の統計値・確率変数と同じという点が特徴である。また、絶対値の平均よりも計算が積和演算であるため高速化が容易であることが挙げられる。
変量 x のデータ xi (i = 1, 2, …, n )x の二乗平均平方根 RMS(x ) は次の式で定義される：
RMS
[
x
]
=
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
2
{\displaystyle \operatorname {RMS} [x]={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}}}}
つまり、xi 2 算術平均 の平方根が x の二乗平均平方根 RMS[x ] となる。
例えば、データ 1, 1, 2, 3, 5
RMS
[
x
]
=
1
5
(
1
2
+
1
2
+
2
2
+
3
2
+
5
2
)
=
8
≈
2.8284271
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {RMS} [x]&={\sqrt {{\frac {1}{5}}\left(1^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+5^{2}\right)}}\\&={\sqrt {8}}\approx 2.8284271\end{aligned}}}
統計値の二乗を取ることで、その量の大きさの平均値を二乗平均平方根から概算することができる。また、光 の強度 は電磁場 の二乗としてしばしば定義されるため、その平均強度は二乗平均平方根の形を取る。時間的に変化する信号 の大きさを評価する目的で、物理学 や電気工学 などの分野で二乗平均平方根が用いられる。
二乗平均平方根は、一般化平均 において指数 パラメータ を 2 としたものであるとも言える。
大きさ n のデータ x 1 , x 2 , …, xn
RMS
[
x
]
=
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
2
=
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
+
x
n
2
n
{\displaystyle \operatorname {RMS} [x]={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}}}={\sqrt {\frac {{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}}{n}}}}
と定義 される。
充分小さな Δx′ x ∈ [x' , x + Δx′ ]確率 を f (x )Δx′ x の二乗平均平方根 RMS[x ] は
RMS
[
x
]
=
∫
−
∞
∞
x
′
2
f
(
x
′
)
d
x
′
{\displaystyle \operatorname {RMS} [x]={\sqrt {\int _{-\infty }^{\infty }x'^{2}f(x')dx'}}}
と定義される。ここで関数 f (x' )確率密度関数 と呼ばれる。
連続関数 x (t )t ∈ [t 1 , t 2 ] (t 1 < t 2 )媒介変数 の積分 を用いて、
RMS
[
x
(
t
)
]
=
1
t
2
−
t
1
∫
t
1
t
2
(
x
(
t
)
)
2
d
t
{\displaystyle \operatorname {RMS} [x(t)]={\sqrt {{\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}(x(t))^{2}\,dt}}}
と定義される。
周期関数 については通常、積分区間を周期の整数 倍に一致させて求める。
たとえば x (t ) = sin(ωt )τ = 2π / ω
RMS
[
sin
ω
t
]
=
1
τ
∫
0
τ
sin
2
ω
t
d
t
=
1
τ
∫
0
τ
1
−
cos
2
ω
t
2
d
t
=
1
2
{\displaystyle \operatorname {RMS} [\sin \omega t]={\sqrt {{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\sin ^{2}\omega t\,dt}}={\sqrt {{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }{\frac {1-\cos 2\omega t}{2}}\,dt}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}
のようにする。同様に三角関数 の和について、適当な周期を τ として、
RMS
[
∑
n
c
n
sin
ω
n
t
]
=
1
τ
∫
0
τ
(
∑
n
c
n
sin
ω
n
t
)
2
d
t
=
1
τ
∑
m
,
n
∫
0
τ
c
m
c
n
sin
(
ω
m
t
)
sin
(
ω
n
t
)
d
t
=
1
τ
∑
m
,
n
∫
0
τ
c
m
c
n
cos
(
ω
m
t
−
ω
n
t
)
−
cos
(
ω
m
t
+
ω
n
t
)
2
d
t
=
1
2
∑
n
(
c
n
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {RMS} \left[\sum _{n}c_{n}\sin \omega _{n}t\right]&={\sqrt {{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\left(\sum _{n}c_{n}\sin \omega _{n}t\right)^{2}\,dt}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{\tau }}\sum _{m,n}\int _{0}^{\tau }c_{m}c_{n}\sin(\omega _{m}t)\sin(\omega _{n}t)\,dt}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{\tau }}\sum _{m,n}\int _{0}^{\tau }c_{m}c_{n}{\frac {\cos(\omega _{m}t-\omega _{n}t)-\cos(\omega _{m}t+\omega _{n}t)}{2}}\,dt}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{2}}\sum _{n}(c_{n})^{2}}}\end{aligned}}}
となる。非対角成分 は積分 すると 0 になる（直交）ので、対角成分の積分だけが残る。
変量 x に対して期待値 ⟨x ⟩ が定まるなら、その量の期待値からの偏差 x − ⟨x ⟩RMS[x − ⟨x ⟩] x の標準偏差 σx に等しい。
σ
x
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
⟨
x
⟩
)
2
=
RMS
[
x
−
⟨
x
⟩
]
{\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\langle x\rangle \right)^{2}}}=\operatorname {RMS} [x-\langle x\rangle ]}
また、二乗偏差 (x − ⟨x ⟩)2
RMS
[
x
−
⟨
x
⟩
]
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
⟨
x
⟩
)
2
=
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
2
−
2
⟨
x
⟩
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
+
⟨
x
⟩
2
=
(
RMS
[
x
]
)
2
−
⟨
x
⟩
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {RMS} [x-\langle x\rangle ]&={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\langle x\rangle \right)^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}-2\langle x\rangle {\dfrac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}+\langle x\rangle ^{2}}}\\&={\sqrt {\left(\operatorname {RMS} [x]\right)^{2}-\langle x\rangle ^{2}}}\end{aligned}}}
ただし最後に期待値 ⟨x ⟩ が xi の平均値 x
⟨
x
⟩
=
x
¯
=
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
{\displaystyle \langle x\rangle ={\bar {x}}={\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}
このとき次の関係が成り立つ。
(
RMS
[
x
]
)
2
=
σ
x
2
+
⟨
x
⟩
2
{\displaystyle \left(\operatorname {RMS} [x]\right)^{2}={\sigma _{x}}^{2}+\langle x\rangle ^{2}}
期待値 ⟨x ⟩ が xi の算術平均 x xi を x の各回の測定値だとすれば、その標本平均 x ⟨x ⟩ からある精度で外れた値になる。実験では真の値は分からないので、期待値 ⟨x ⟩ の代わりに測定値の標本平均 x 不偏分散 の平方根によって推定される。不偏でない単純な標本標準偏差は二乗平均平方根の形で表されるが、不偏標本標準偏差 ux はそれとは異なる。
RMS
[
x
−
x
¯
]
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
x
−
x
¯
)
2
≠
1
n
−
1
∑
i
=
1
n
(
x
−
x
¯
)
2
=
u
x
{\displaystyle \operatorname {RMS} [x-{\bar {x}}]={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}(x-{\bar {x}})^{2}}}\neq {\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}(x-{\bar {x}})^{2}}}=u_{x}}
単純な標本標準偏差では分散の重心が期待値ではなく標本平均になっているため、これは真の値からの誤差を評価していない。
これらがほぼ等価であると言えるのは、測定精度に比べて充分多くの回数測定を行った場合だけである。
![{\displaystyle \operatorname {RMS} [x]={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b0adfb48482e76c707790de2f2f64bf025e39d6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {RMS} [x]&={\sqrt {{\frac {1}{5}}\left(1^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+5^{2}\right)}}\\&={\sqrt {8}}\approx 2.8284271\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95d5eb0feffe4b2d48df2510429615c36d54cdd)
![{\displaystyle \operatorname {RMS} [x]={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}}}={\sqrt {\frac {{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}}{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daf6db84716eff19fe69846c31181d0bd14fd2e1)
![{\displaystyle \operatorname {RMS} [x]={\sqrt {\int _{-\infty }^{\infty }x'^{2}f(x')dx'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3f2098f585373feda53d65bbfcaccef42b37e9)
![{\displaystyle \operatorname {RMS} [x(t)]={\sqrt {{\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}(x(t))^{2}\,dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf5ae25621b343deb92f66edb29d98e95999cef)
![{\displaystyle \operatorname {RMS} [\sin \omega t]={\sqrt {{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\sin ^{2}\omega t\,dt}}={\sqrt {{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }{\frac {1-\cos 2\omega t}{2}}\,dt}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50dbe5012176ae61e335278c85a4d5d4ba0ea494)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {RMS} \left[\sum _{n}c_{n}\sin \omega _{n}t\right]&={\sqrt {{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\left(\sum _{n}c_{n}\sin \omega _{n}t\right)^{2}\,dt}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{\tau }}\sum _{m,n}\int _{0}^{\tau }c_{m}c_{n}\sin(\omega _{m}t)\sin(\omega _{n}t)\,dt}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{\tau }}\sum _{m,n}\int _{0}^{\tau }c_{m}c_{n}{\frac {\cos(\omega _{m}t-\omega _{n}t)-\cos(\omega _{m}t+\omega _{n}t)}{2}}\,dt}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{2}}\sum _{n}(c_{n})^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/766660aad36ae2a668b526c32ddd123dc6c66b06)
![{\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\langle x\rangle \right)^{2}}}=\operatorname {RMS} [x-\langle x\rangle ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe5e850dc7a60856715eee5b9a7947de67948f72)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {RMS} [x-\langle x\rangle ]&={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\langle x\rangle \right)^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}-2\langle x\rangle {\dfrac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}+\langle x\rangle ^{2}}}\\&={\sqrt {\left(\operatorname {RMS} [x]\right)^{2}-\langle x\rangle ^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4bd8a63f2f621f62b90cdcf8d27c04cb1f1e324)
![{\displaystyle \left(\operatorname {RMS} [x]\right)^{2}={\sigma _{x}}^{2}+\langle x\rangle ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab97232b249244b1866a6ec2856d3654cd1ce44)
![{\displaystyle \operatorname {RMS} [x-{\bar {x}}]={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}(x-{\bar {x}})^{2}}}\neq {\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}(x-{\bar {x}})^{2}}}=u_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad51eb5a378dff3899c2cedfc7f166a948686717)