星状領域

数学において、ユークリッド空間 Rⁿ のある集合 S が星状領域（せいじょうりょういき、英: star domain）あるいは星状凸集合、星状集合または放射凸集合であるとは、S 内のある x₀ に対し、それと S 内の任意の x を結ぶ線分が S に含まれることをいう。この定義は直ちに、任意の実あるいは複素ベクトル空間に一般化される。

星状領域（星状凸あるいは星状集合とも呼ばれる）は、必ずしも通常の意味での凸ではない。

アニュラスは星状領域ではない。

直感的に、S をある壁で囲われた領域としたとき、S 内の任意の場所 x に視線を送ることが出来るある場所 x₀ が S 内に存在するなら、S は星状領域である。

例

• Rⁿ 内の任意の直線あるいは平面は、星状領域である。
• 直線あるいは平面からある一点が除かれたものは、星状領域ではない。
• A を Rⁿ 内の集合とするとき、A 内のすべての点を原点とつなげることで得られる集合 $B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}$ は、星状領域である。
• 任意の空でない凸集合は、星状領域である。ある集合が凸であるための必要十分条件は、それがその集合内の任意の点に関して星状領域となることである。
• 十字の形をした領域は星状領域であるが、凸ではない。
• 星状多角形は、境界が連結された線分であるような星状領域である。

性質

• 星状領域の閉包も星状領域であるが、星状領域の内部は必ずしも星状領域ではない。
• すべての星状領域は、直線ホモトピーによる可縮集合である。特に、すべての星状領域は単連結である。
• すべての星状領域は、それ自身に縮めることが出来る。すなわち、任意の縮小率 r<1 に対して、r で縮小された星状領域は、元の星状領域に含まれる、
• 二つの星状領域の合併や共通部分は、必ずしも星状領域ではない。
• Rⁿ 内の空でない開の星状領域 S は、Rⁿ と微分同相である。

関連項目

• 美術館問題
• 星状多角形
• 均衡集合

参考文献

• Ian Stewart, David Tall, Complex Analysis. Cambridge University Press, 1983, ISBN 0-521-28763-4, MR0698076
• C.R. Smith, A characterization of star-shaped sets, American Mathematical Monthly, Vol. 75, No. 4 (April 1968). p. 386, MR0227724, JSTOR 2313423

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Star convex". mathworld.wolfram.com (英語).