波数

波数（はすう、英: wavenumber）とは、波の空間周波数である。正弦波の波数は、波長の逆数、またはその 2π 倍として定義される。後者は前者と区別して、角波数（かくはすう、英: angular wavenumber）と呼ばれることがある。 直感的には、波数は単位長さの直線（または角波数の場合、単位円周上）に何波長分の波が入るかを表している。

波数 wavenumber
量記号	k, ~ν
次元	L−1
SI単位	毎メートル (m−1)
CGS単位	カイザー (K)
FPS単位	毎フィート (ft−1)

波数を表す記号として、k, ~ν がよく用いられる。前者はもっぱら角波数に用いられ、後者は波長の逆数としての波数に用いられる。

波数の単位は、国際単位系では毎メートルが用いられる。また、CGS単位系では毎センチメートルが用いられる。波数は分光学において頻繁に現れる量であるため、カイザーがしばしば単位に用いられる。

分光学

物理化学や分光学の分野では単位長さ当たりの波の個数を指し、波数 ~ν は波長 λ の逆数

${\tilde {\nu }}={\frac {1}{\lambda }}$

となる。

しばしば波数 ~ν は間接的に光の周波数 ν を指すこともあり、真空中の光速度 c を用いて

${\tilde {\nu }}={\frac {\nu }{c}}$

と関係付けられる。

歴史的にはヨハネス・リュードベリが1880年代に初めて着目し、1908年にリュードベリ・リッツの結合原理において、公式の中に波数を現した。その後、スペクトル線に関する研究が進むにつれ、量子論によってエネルギー準位の差が波数や周波数に比例することがわかった。例えば、水素スペクトル系列はリュードベリの式によって

${\tilde {\nu }}=R_{\infty }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)$

と表される。ここで、R_∞ はリュードベリ定数、n, m (n < m) は主量子数である。

波動力学

波動力学では正弦波の波数を指し、波数 k は 2π を波長 λ で割った量

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}$

となる。つまり、1 波長分の波を 1 個と数えたとき、波数 k は単位長さ当たりの波の個数を 2π 倍したものに相当する。このとき、k = 2π/λ は角波数 (angular wavenumber) と呼ばれる。

正弦波 u は振幅を A、振動数を ν、波長を λ とすると

$u=A\sin 2\pi \left(\nu t-{\frac {x}{\lambda }}\right)=A\sin(\omega t-kx)$

のように表示される。ここで、t は時刻、x は位置、ω は角振動数である。

しばしばフーリエ変換において、実空間の座標の双対として波数 k が用いられる。また量子力学においては波数ベクトル k にディラック定数 ħ を掛けた ħk が運動量 p に対応する。

波数ベクトル

→詳細は「波数ベクトル」を参照

古典的には、向きが波面の法線方向（つまり波の伝播方向）で、大きさが波数となるベクトルを、波数ベクトル（あるいは伝播ベクトル、wave vector, k-vector）と定義する。

なお、波数ベクトル k は十分大きな整数の組 (N₁, N₂, N₃) を考えると、

${\boldsymbol {k}}={\frac {m_{1}}{N_{1}}}{\boldsymbol {b}}_{1}+{\frac {m_{2}}{N_{2}}}{\boldsymbol {b}}_{2}+{\frac {m_{3}}{N_{3}}}{\boldsymbol {b}}_{3}$

で表される。b = (b₁, b₂, b₃) は逆格子空間での基本並進ベクトル。整数 m = (m₁, m₂, m₃) は、いろいろな範囲設定が可能だが、一例としてそれぞれ (0, ⋯, N₁ − 1; 0, ⋯, N₂ − 1; 0, ⋯, N₃ − 1) の範囲の任意の整数と設定できる。

脚注

出典

関連項目

• 逆格子空間
• フーリエ変換
• ブロッホの定理
• ド・ブロイ波
• 運動量

外部リンク

• 日本大百科全書（ニッポニカ）『波数』 - コトバンク
• ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典『波数ベクトル』 - コトバンク
• Wave number - ブリタニカ百科事典