配置集合

数学の集合論における配置集合^[1]（はいちしゅうごう、独: Belegungsmenge）あるいは集合の冪（べき、仏: exponentiation ensembliste）^{[注釈 1]}は、二つの集合 $E, F$ に対する演算で、 $E$ から $F$ への写像全体の集合^[1]を割り当てるものである。この集合は $ℱ(E, F)$ ^[1] や $F E$ などと書かれる^[2]。これはまた、 $E$ で添字付けられた $F$ の元の族の全体 $F^{E}=\prod _{e\in E}F=\{(x_{e})_{e\in E}\mid x_{e}\in F\}$ とも一致する^[3]。

例

$ℝ ℕ$ は実数列全体の成す集合を表す（数列空間も参照）。
任意の空でない集合 $E$ に対し、 $E$ から空集合 $\emptyset$ への写像は存在しない（ $E$ の元の像となるべき元の存在は、 $\emptyset$ がもともと元を持たないから、満たされることがない）。すなわち、 $\emptyset E = \emptyset (E \neq \emptyset)$ が成り立つ。
任意の集合 $F$ に対して、空集合から $F$ への写像はただ一つ存在する（空写像、すなわち空なグラフを持つ写像）。従って、配置集合 $F \emptyset = {\emptyset}$ は一元集合である。

濃度

$E$ および $F$ は有限集合とし、集合 $E$ の位数を $| E |$ のように書くとき、配置集合の濃度に関して ${\mathopen {|}}F^{E}{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}F{\mathclose {|}}^{{\mathopen {|}}E{\mathclose {|}}}$ が成り立つことが示せる（重複順列の項を参照）。

$E$ または $F$ が無限集合のとき、上記の等式は濃度の冪の定義として用いられる。このとき、 $F E$ の濃度が $E$ および $F$ の濃度のみで決まる（つまり、濃度が同じならばそのような集合の取り方に依存しない）ことが示せる。

歴史

こんにち配置集合と呼ばれる構成を導入したのはゲオルク・カントールである^[4]。カントールが "Belegung（ドイツ語版）"^{[注釈 2]} と呼んだ「 $N$ の元に対する $M$ に値をとる配置」（英: "covering"^[5], 仏: « recouvrement »^{[注釈 3]}）とは、「 $N$ の各元 $n$ に $M$ の定まった元を割り当てる規則であって、 $M$ の元は繰り返し用いてよい^[6]^[5]」というもので、そのような規則は今日われわれが $N$ から $M$ への写像と呼んでいるものに他ならない。 $N$ における個々の配置を、規則 $f$ を明示して $f (N)$ と書くことにすれば、すべての $f (N)$ を元とする集合—すなわち $M$ に値をとる $N$ の相異なる配置全体の成す集合— を「 $N$ の $M$ による配置集合」と呼び、カントールはこれを $(N | M)$ で表した—すなわち $(N | M) = {f (N)}$ ^[6]^[5]。

注

[脚注の使い方]

注釈

^ ブルバキ (1968, p. 28, §4, 9 [訳注])「原文では，配置集合を作ることを «巾（＝累乗，exponentiation）» とよんでいるが，わが国の慣行では，部分集合の全体 $𝔓(E)$ のことを «巾集合（英 power-set，独 Potenzmenge）» とよび，Belegungsmenge というドイツ語からの訳語 «配置集合» を $E I$ にあてる習慣があるので，ここでもそれにしたがった．」
^ 直訳すれば「割り当て」(assignment（英語版）)。
^ 直訳すれば「被覆」だが、集合の被覆と混同してはならない。

出典

^ ^a ^b ^c ブルバキ 1968, p. 10, §2, 2.
^ Halmos 1960.
^ ブルバキ 1968, p. 28, §4, 9.
^ Cantor 1895, §4.
^ ^a ^b ^c Dauben 1990, p. 174.
^ ^a ^b Cantor 1895, p. 487.

参考文献

ブルバキ, ニコラ著、前原昭二訳『集合論要約』東京書籍〈ブルバキ数学原論 4〉、1968年。ISBN 978-4-489-00104-8。
Cantor, Georg (1895). “Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre”. Mathematische Annalen (Teubner) (XLVI): 481-496.
- Cantor, Georg (2012), Contributions au fondement de la théorie des ensembles transfinis, traduit et commenté par J.-P. Belna, sur Bibnum. (PDF)
- Cantor, Georg (1955), “Article I. (1895)”, in Philip E. B. Jourdain trans., Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers, Dover Books on Mathematic, Dover Publications, pp. 85–136, ISBN 978-0-486-60045-1
- Cantor, Georg (2007) [1915], “Article I. (1895)”, in Philip E. B. Jourdain trans., Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers, Cosimo, Inc., pp. 85–136, ISBN 978-1-60206-442-3
Dauben, Joseph Warren (1990), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02447-9
Halmos, Paul (1960), Naive Set Theory, Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company ;
- Reprint: , New York: Springer-Verlag, (1974), ISBN 0-387-90092-6 ;
- Reprint (paperback): , Martino Fine Books, (2011), ISBN 978-1-61427-131-4

外部リンク

『配置集合』 - コトバンク
function set in nLab
Weisstein, Eric W. "Mapping Space". mathworld.wolfram.com (英語).

[2] ブルバキ (1968, p. 28, §4, 9 [訳注])「原文では，配置集合を作ることを «巾（＝累乗，exponentiation）» とよんでいるが，わが国の慣行では，部分集合の全体 $𝔓(E)$ のことを «巾集合（英 power-set，独 Potenzmenge）» とよび，Belegungsmenge というドイツ語からの訳語 «配置集合» を $E I$ にあてる習慣があるので，ここでもそれにしたがった．」

[6] 直訳すれば「割り当て」(assignment（英語版）)。

[8] 直訳すれば「被覆」だが、集合の被覆と混同してはならない。

[FOOTNOTEブルバキ196810§2,_2-1] ブルバキ 1968, p. 10, §2, 2.

[FOOTNOTEHalmos1960-3] Halmos 1960.

[FOOTNOTEブルバキ196828§4,_9-4] ブルバキ 1968, p. 28, §4, 9.

[FOOTNOTECantor1895§4-5] Cantor 1895, §4.

[FOOTNOTEDauben1990174-7] Dauben 1990, p. 174.

[FOOTNOTECantor1895487-9] Cantor 1895, p. 487.

[1]

[注釈 1]

[2]

[3]

[4]

[注釈 2]

[5]

[注釈 3]

[6]

配置集合

目次

例

濃度

歴史

注

注釈

出典

参考文献

関連項目

外部リンク