Дағдылы сан

Дағдылы сандар — заттарды табиғи санау кезінде, немесе реттік санау кезінде пайдаланылатын сандар.

Дағдылы сандар санау үшін пайдаланылуы мүмкін (бір алма, екі алма, үш алма, …).

Дағдылы сандарды екі түрде айқындауға болады:

• заттарды реттік санау (нөмірлеу) кезіндегідей (бірінші, екінші, үшінші, …)
• заттардың санын айтуға, немесе шектеулі жиындардың қуаттылығын сипаттауда (біреу, екеу, үшеу, …)

Теріс, бүтін емес сандар — дағдылы сандарға жатпайды. Дағдылы сандар жиынын $\mathbb {N}$ нышанымен белгілейді. Дағдылы сандар жиыны шексіз — кез келген дағдылы сан берілсе, одан да үлкен дағдылы сан табылады.

Пеано аксиомалары

x санына осыдан кейінгі келесі санды қоятын S функциясын енгізейік.

1. $1\in \mathbb {N}$ ($1$ - натурал сан);
2. Егер $x\in \mathbb {N}$, онда $S(x)\in \mathbb {N}$ (Натурал саннан кейінгі келесі сан да натурал болады);
3. $\nexists x\in \mathbb {N} \ (S(x)=1)$ (1 санының аолында еш натурал сан жоқ);
4. Егер $S(b)=a$ және $S(c)=a$, онда $b=c$ (егер $a$ натурал саны бір уақытта бірден $b$-дан кейінгі, әрі бірден $c$-дан кейінгі натурал сан болса, онда $b=c$);
5. Толық индукция аксиомасы. $P(n)$ — натурал $n$ параметріне байланысты әлдебір бірорынды предикат болсын. Сонда:

егер $P(1)$ және $\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))$, онда $\forall n\;P(n)$

(Егер әлдебір тұжырым $P$ $n=1$ үшін орындалса (индукция негізі) және кез келген $n$ үшін, $P(n)$ дұрыс деп жорамалданса $P(n+1)$-де орындалса (индукция жорамалы), онда $P(n)$ барлық натурал $n$ саны үшін орындалады.

Негізгі қасиеттері

1. Қосудың коммутативтігі. $\,\!a+b=b+a$
2. Көбейтудің коммутативтігі. $\,\!ab=ba$
3. Қосудың ассоциативтігі. $\,\!(a+b)+c=a+(b+c)$
4. Көбейтудің ассоциативтігі. $\,\!(ab)c=a(bc)$
5. Көбейтудің қосуға қатысты дистрибутивтігі. $\,\!{\begin{cases}a(b+c)=ab+ac\\(b+c)a=ba+ca\end{cases}}$

Натурал сандар

Натурал сандар арқылы математикалық талдаудың негізгі түсінігі – нақты сан анықталады. Сан ұғымын логикалық талдау жасау теориялық арифметиканың үлесіне тиген.

Ежелгі замандардағы санау және қарапайым өлшеулердің қажеттелігінен туындаған арифметика – тұрмыстық қажеттілік, есептеу, қашықтық өлшеу, уақыт анықтау, аудан шамасын анықтау және өзгедей ғылымдардың сұранысы мен мұқтаждықтарын қанағаттандыру мақсатында дамытылған. Алғашқы кездері санау – мөлшері көп емес нәрселердің жиынын анықтау үшін қолданылғаны белгілі. Үйреншікті санау шегінен артық болған заттар “көп” деген бір атаумен аталған.

Дереккөздер

Математика әлемі