집적점

일반위상수학에서 집적점(集積點, 영어: accumulation point)은 그 임의의 근방이 주어진 집합과 주어진 기수 개 이상의 점들을 공유하는 점이다.

정의

기수 $\kappa \in \operatorname {Card}$ 가 주어졌다고 하자. 위상 공간 $X$ 및 부분 집합 $Y\subseteq X$ 및 점 $x\in X$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $x$ 가 $Y$ 의 $\kappa$ -집적점(集積點, 영어: $\kappa$ -accumulation point)이라고 한다.

임의의 $x$ 의 근방 $X\supseteq U\ni x$ 에 대하여, $|U\cap Y|\geq \kappa$ 이다.

특히, 임의의 점 $x\in X$ 및 부분 집합 $Y\subseteq X$ 에 대하여, 다음과 같은 기수를 정의할 수 있다.

\operatorname {acc} (x,Y)=\min _{U\in {\mathcal {N}}_{x}}|Y\cap U|

여기서 ${\mathcal {N}}_{x}$ 는 $x$ 의 근방 필터이다. 즉, $x$ 는 항상 $Y$ 의 $\operatorname {acc} (x,Y)$ -집적점이다.

$Y$ 의 $\kappa$ -집적점들의 집합을

\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Y)=\{x\in X\colon \operatorname {acc} (x,Y)\geq \kappa \}

로 표기하자.

특별한 값의 $\kappa$ 에 대하여, 다음과 같은 특별한 용어들이 존재한다.

$Y\subseteq X$ 의 $|Y|$ -집적점을 완비 집적점(完備集積點, 영어: complete accumulation point)이라고 한다.
$\aleph _{1}$ -집적점을 응집점(凝集點, 영어: condensation point)이라고 한다. (여기서 $\aleph _{1}$ 은 최소의 비가산 기수이다.)
점 $x\in X$ 및 부분 집합 $Y\subseteq X$ 이 주어졌을 때, 만약 임의의 근방 $X\supseteq U\ni x$ 에 대하여, $U\cap Y\setminus \{x\}\neq \varnothing$ 이라면, $x$ 를 $Y$ 의 극한점(極限點, 영어: limit point)이라고 한다. 극한점들의 집합을 유도 집합(誘導集合, 영어: derived set)이라고 하며, 흔히 $Y'$ 으로 표기한다. 일반적으로, 극한점의 개념은 2-집적점과 1-집적점 사이에 있다.
- $X\subseteq X$ 의 극한점이 아닌 점 $x\in X\setminus X'$ 은 고립점(孤立點, 문화어: 외딴점, 영어: isolated point)이라고 한다. 즉, $X$ 의 고립점은 $\{x\}$ 가 열린집합인 점 $x\in X$ 이다.
1-집적점을 폐포점(閉包點, 영어: closure point) 또는 밀착점(密着點, 영어: adherent point)이라고 한다. $Y\subseteq X$ 의 폐포점은 $Y$ 의 원소이거나 아니면 $Y$ 의 극한점이다. 폐포점들의 집합은 폐포 $\operatorname {acc\,pt} _{1}(Y)=\operatorname {cl} Y$ 라고 한다.
임의의 $x\in X$ 는 $Y\subseteq X$ 의 0-집적점이다.

성질

폐포와의 관계

위상 공간 $X$ 의 부분 집합 $Y\subseteq X$ 과 점 $x\in X$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

$x$ 는 $Y$ 의 폐포점이다.
$x\in Y$ 이거나, 또는 $x$ 는 $Y$ 의 극한점이다.

다시 말해, $Y$ 의 폐포는 $Y$ 와 그 극한점들의 집합의 합집합이다.

X=\operatorname {acc\,pt} _{0}(Y)

\operatorname {cl} Y=Y\cup Y'

위상 공간 $X$ 의 부분 집합 $Y\subseteq X$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$Y$ 는 닫힌집합이다.
$Y'\subseteq Y$
$\operatorname {cl} Y=Y$

T₁ 공간의 경우

만약 $X$ 가 T₁ 공간이라면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$x$ 는 $Y$ 의 극한점이다.
$x$ 는 $Y$ 의 $\aleph _{0}$ -집적점이다.

따라서, T₁ 공간의 경우 $2\leq \kappa \leq \aleph _{0}$ 에 대하여 $\kappa$ -집적점을 구별하지 않아도 되며, 이는 극한점과도 같은 개념이다.

증명:

$x\in X$ 가 $Y\subseteq X$ 의 $\aleph _{0}$ -집적점이 아니라고 하자. 그렇다면, $U\cap Y$ 가 유한 집합인 $U\in {\mathcal {N}}_{x}$ 가 존재한다. ( ${\mathcal {N}}_{x}$ 는 $x$ 의 근방 필터이다.)

$X$ 가 T₁ 공간이므로, 한원소 집합은 닫힌집합이다. 따라서,

{\widetilde {U}}=\operatorname {int} (U)\setminus (Y\setminus \{x\})=\operatorname {int} (U)\cap \bigcap _{y\in U\cap (Y\setminus \{x\})}(X\setminus \{y\})

역시 (유한 개의 열린집합들의 교집합이므로) 열린집합이다. (여기서 $\operatorname {int}$ 는 내부를 뜻한다.) ${\widetilde {U}}\in {\mathcal {N}}_{x}$ 이자 ${\widetilde {U}}\cap Y=\{x\}$ 이므로 $x$ 는 $Y$ 의 극한점이 아니다.

T₁ 공간의 임의의 부분 집합의 유도 집합은 닫힌집합이다.

다음 두 조건이 서로 동치이다.

$X$ 는 이산 공간이다.
$X$ 의 모든 부분 집합은 극한점을 갖지 않는다.

유도 집합

편의상 극한점을 1.5-집적점으로 일컫자. 그렇다면 다음이 성립한다.

임의의 $\kappa \geq 1$ 에 대하여, $\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\varnothing )=\varnothing$
임의의 집합 $Y,Z\subseteq X$ 및 기수 $\kappa \leq 1.5$ 에 대하여, $\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Y\cup Z)=\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Y)\cup \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Z)$
임의의 집합 $Z\subseteq Y\subseteq X$ 및 기수 $\kappa \geq \lambda$ 에 대하여, $\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Z)\subseteq \operatorname {acc\,pt} _{\lambda }(Y)$