다중지표

수학에서 다중지표(多重指標, 영어: multi-index)는 자연수의 튜플이다. 다변수 미적분학에서 복잡한 미분 연산자를 간략히 표기하기 위하여 쓰인다.

정의

n차원 다중지표 $I=(I_{1},I_{2},\dots ,I_{n})$은 $\mathbb {N} ^{n}$의 원소다. 즉, $n$개의 음이 아닌 정수들의 수열이다. 다중지표들은 덧셈에 대하여 모노이드를 이룬다. 다중지표의 절댓값은 그 성분들의 합이다.

$|I|=\sum _{i=1}^{n}I_{i}\in \mathbb {N}$

조합론

다중지표의 계승은 각 성분들의 계승들의 곱이다.

$I!=\prod _{i=1}^{n}I_{i}!$

이를 통해, 다중지표의 이항계수도 정의할 수 있다.

${\binom {I}{J}}={\frac {I!}{J!(I-J)!}}=\prod _{i=1}^{n}{\binom {I_{i}}{J_{i}}}$

다변수 미적분학

$x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$이 $n$개의 변수들의 튜플이라고 하자. 만약 다중지표 $I\in \mathbb {N} ^{n}$이 주어졌다면, 다중지표로의 지수를 다음과 같이 정의한다.

$x^{I}=x_{1}^{I_{1}}x_{2}^{I_{2}}\dotsb x_{n}^{I_{n}}$

마찬가지로, $n$차원 매끄러운 다양체의 국소좌표계 $(\partial /\partial x^{1},\partial /\partial x^{2},\dots ,\partial /\partial x^{n})$이 주어졌다면, 다중지표에 대한 편미분을 다음과 같이 정의한다.

$\partial _{I}={\frac {\partial }{\partial x^{I}}}={\frac {\partial ^{I_{1}}}{(\partial x^{1})^{I_{1}}}}{\frac {\partial ^{I_{2}}}{(\partial x^{2})^{I_{2}}}}\dotsb {\frac {\partial ^{I_{n}}}{(\partial x^{n})^{I_{n}}}}$

같이 보기

• 아인슈타인 표기법

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Multi-index notation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Cook, John D. (2008년 9월 18일). “Multi-index notation” (PDF) (영어).