만약
I
⊆
R
{\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }
u
,
v
:
I
→
R
{\displaystyle u,v\colon I\to \mathbb {R} }
연속 미분 가능 함수 라면 (도함수
u
′
,
v
′
{\displaystyle u',v'}
연속 함수 라면), 다음이 성립한다.[ 2] :292
∫
u
(
x
)
v
′
(
x
)
d
x
=
u
(
x
)
v
(
x
)
−
∫
u
′
(
x
)
v
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int u(x)v'(x)\mathrm {d} x=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm {d} x}
이를
u
′
(
x
)
d
x
=
d
u
{\displaystyle u'(x)\mathrm {d} x=\mathrm {d} u}
v
′
(
x
)
d
x
=
d
v
{\displaystyle v'(x)\mathrm {d} x=\mathrm {d} v}
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
{\displaystyle \int u\mathrm {d} v=uv-\int v\mathrm {d} u}
만약
u
,
v
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle u,v\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
연속 미분 가능 함수 라면, 다음이 성립한다.[ 2] :292, Theorem 7.1
∫
a
b
u
(
x
)
v
′
(
x
)
d
x
=
[
u
(
x
)
v
(
x
)
]
a
b
−
∫
a
b
u
′
(
x
)
v
(
x
)
d
x
=
u
(
b
)
v
(
b
)
−
u
(
a
)
v
(
a
)
−
∫
a
b
u
′
(
x
)
v
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\mathrm {d} x&={\bigg [}u(x)v(x){\bigg ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x\end{aligned}}}
곱의 법칙 에 따라 다음이 성립한다.
u
v
′
=
(
u
v
)
′
−
u
′
v
{\displaystyle uv'=(uv)'-u'v}
양변은 모두 연속 함수이므로 부정적분이 존재한다. 양변에 부정적분을 취하면 다음을 얻으므로 부정적분에 대한 명제가 성립한다.[ 3] :79
∫
u
(
x
)
v
′
(
x
)
d
x
=
u
(
x
)
v
(
x
)
−
∫
u
′
(
x
)
v
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int u(x)v'(x)\mathrm {d} x=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm {d} x}
또한 양변은 모두 적분 가능하며, 양변에 적분을 취하면 다음을 얻으므로 정적분의 경우가 성립한다.[ 2] :292
∫
a
b
u
(
x
)
v
′
(
x
)
d
x
=
[
u
(
x
)
v
(
x
)
]
a
b
−
∫
a
b
u
′
(
x
)
v
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\mathrm {d} x={\bigg [}u(x)v(x){\bigg ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x}
편집
이 명제에서는 주어진 적분에서
u
{\displaystyle u}
d
v
{\displaystyle \mathrm {d} v}
u
{\displaystyle u}
v
′
{\displaystyle v'}
로그 함수 , 역삼각 함수 , 대수적 함수 , 삼각 함수 , 지수 함수 에서 먼저 나오는 유형에 속하는 하나를
u
{\displaystyle u}
영어 : LIATE rule )이라고 부른다. 즉 로그함수, 역삼각함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수 순으로 '왼쪽 방향'으로 갈수록 미분에 용이하며, '오른쪽 방향'으로 갈수록 적분에 용이하다는 것이다.[ 6]
만약
I
⊆
R
{\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }
u
,
v
:
I
→
R
{\displaystyle u,v\colon I\to \mathbb {R} }
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
u
(
n
)
,
v
(
n
)
{\displaystyle u^{(n)},v^{(n)}}
[ 3] :101, Exercise 46
∫
u
(
x
)
v
(
n
)
(
x
)
d
x
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
−
1
)
k
u
(
k
)
(
x
)
v
(
n
−
1
−
k
)
(
x
)
+
(
−
1
)
n
∫
u
(
n
)
(
x
)
v
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int u(x)v^{(n)}(x)\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}u^{(k)}(x)v^{(n-1-k)}(x)+(-1)^{n}\int u^{(n)}(x)v(x)\mathrm {d} x}
이는 부분 적분을 반복하여 증명할 수 있다. 이러한 적분을 풀 때에는 보통 이 공식에 대입하는 대신 부분 적분을 직접 반복하거나 표를 사용한다.
부정적분
∫
x
2
ln
x
d
x
{\displaystyle \int x^{2}\ln x\mathrm {d} x}
을 구하자.
u
=
ln
x
{\displaystyle u=\ln x}
d
v
=
x
2
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} v=x^{2}\mathrm {d} x}
d
u
=
(
d
x
)
/
x
{\displaystyle \mathrm {d} u=(\mathrm {d} x)/x}
v
=
x
3
/
3
{\displaystyle v=x^{3}/3}
[ 1] :516, Example 2
∫
x
2
ln
x
d
x
{\displaystyle \int x^{2}\ln x\mathrm {d} x}
=
x
3
3
ln
x
−
1
3
∫
x
2
d
x
{\displaystyle ={\frac {x^{3}}{3}}\ln x-{\frac {1}{3}}\int x^{2}\mathrm {d} x}
=
x
3
3
ln
x
−
1
9
x
3
+
C
{\displaystyle ={\frac {x^{3}}{3}}\ln x-{\frac {1}{9}}x^{3}+C}
부정적분
∫
arcsin
x
d
x
{\displaystyle \int \arcsin x\mathrm {d} x}
를 구하자.
u
=
arcsin
x
{\displaystyle u=\arcsin x}
d
v
=
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} v=\mathrm {d} x}
d
u
=
(
d
x
)
/
1
−
x
2
{\displaystyle \mathrm {d} u=(\mathrm {d} x)/{\sqrt {1-x^{2}}}}
v
=
x
{\displaystyle v=x}
[ 3] :87, Example 7.10
∫
arcsin
x
d
x
{\displaystyle \int \arcsin x\mathrm {d} x}
=
x
arcsin
x
−
∫
x
1
−
x
2
d
x
{\displaystyle =x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x}
=
x
arcsin
x
+
1
2
∫
d
(
1
−
x
2
)
1
−
x
2
{\displaystyle =x\arcsin x+{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} (1-x^{2})}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
{\displaystyle =x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}
부정적분
∫
x
2
sin
x
d
x
{\displaystyle \int x^{2}\sin x\mathrm {d} x}
을 구하자.
u
=
x
2
{\displaystyle u=x^{2}}
d
v
=
sin
x
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} v=\sin x\mathrm {d} x}
d
u
=
2
x
{\displaystyle \mathrm {d} u=2x}
v
=
−
cos
x
{\displaystyle v=-\cos x}
∫
x
2
sin
x
d
x
=
−
x
2
cos
x
+
2
∫
x
cos
x
d
x
{\displaystyle \int x^{2}\sin x\mathrm {d} x=-x^{2}\cos x+2\int x\cos x\mathrm {d} x}
우변의 마지막 항의 적분에서
u
=
x
{\displaystyle u=x}
d
v
=
cos
x
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} v=\cos x\mathrm {d} x}
d
u
=
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} u=\mathrm {d} x}
v
=
sin
x
{\displaystyle v=\sin x}
∫
x
cos
x
d
x
{\displaystyle \int x\cos x\mathrm {d} x}
=
x
sin
x
−
∫
sin
x
d
x
{\displaystyle =x\sin x-\int \sin x\mathrm {d} x}
=
x
sin
x
+
cos
x
+
C
{\displaystyle =x\sin x+\cos x+C}
따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[ 1] :518, Example 4
∫
x
2
sin
x
d
x
=
−
x
2
cos
x
+
2
x
sin
x
+
2
cos
x
+
C
{\displaystyle \int x^{2}\sin x\mathrm {d} x=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C}
부정적분
∫
x
2
−
1
d
x
{\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x}
을 구하자.
u
=
x
2
−
1
{\displaystyle u={\sqrt {x^{2}-1}}}
d
v
=
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} v=\mathrm {d} x}
d
u
=
(
x
/
x
2
−
1
)
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} u=(x/{\sqrt {x^{2}-1}})\mathrm {d} x}
v
=
x
{\displaystyle v=x}
[ 4] :
∫
x
2
−
1
d
x
{\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x}
=
x
x
2
−
1
−
∫
x
2
x
2
−
1
d
x
{\displaystyle =x{\sqrt {x^{2}-1}}-\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}\mathrm {d} x}
=
x
x
2
−
1
−
∫
x
2
−
1
d
x
−
∫
d
x
x
2
−
1
{\displaystyle =x{\sqrt {x^{2}-1}}-\int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x-\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
=
x
x
2
−
1
−
ln
|
x
+
x
2
−
1
|
−
∫
x
2
−
1
d
x
{\displaystyle =x{\sqrt {x^{2}-1}}-\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|-\int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x}
따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[ 4] :256, 예6.2.21
∫
x
2
−
1
d
x
=
1
2
x
x
2
−
1
−
1
2
ln
|
x
+
x
2
−
1
|
+
C
{\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}x{\sqrt {x^{2}-1}}-{\frac {1}{2}}\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|+C}
다음과 같은 두 적분을 구하자.
∫
e
a
x
cos
b
x
d
x
{\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x}
∫
e
a
x
sin
b
x
d
x
{\displaystyle \int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x}
이 둘에 각각 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.
∫
e
a
x
cos
b
x
d
x
{\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x}
=
1
b
∫
e
a
x
d
(
sin
b
x
)
{\displaystyle ={\frac {1}{b}}\int e^{ax}\mathrm {d} (\sin bx)}
=
1
b
e
a
x
sin
b
x
−
a
b
∫
e
a
x
sin
b
x
d
x
{\displaystyle ={\frac {1}{b}}e^{ax}\sin bx-{\frac {a}{b}}\int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x}
∫
e
a
x
sin
b
x
d
x
{\displaystyle \int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x}
=
−
1
b
∫
e
a
x
d
(
cos
b
x
)
{\displaystyle =-{\frac {1}{b}}\int e^{ax}\mathrm {d} (\cos bx)}
=
−
1
b
e
a
x
cos
b
x
+
a
b
∫
e
a
x
cos
b
x
d
x
{\displaystyle =-{\frac {1}{b}}e^{ax}\cos bx+{\frac {a}{b}}\int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x}
즉, 다음과 같은 연립 방정식이 성립한다.
b
∫
e
a
x
cos
b
x
d
x
+
a
∫
e
a
x
sin
b
x
d
x
=
e
a
x
sin
b
x
{\displaystyle b\int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x+a\int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x=e^{ax}\sin bx}
a
∫
e
a
x
cos
b
x
d
x
−
b
∫
e
a
x
sin
b
x
d
x
=
e
a
x
cos
b
x
{\displaystyle a\int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x-b\int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x=e^{ax}\cos bx}
따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[ 4] :256, 예6.2.22
∫
e
a
x
cos
b
x
d
x
=
1
a
2
+
b
2
e
a
x
(
a
cos
b
x
+
b
sin
b
x
)
+
C
{\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)+C}
∫
e
a
x
sin
b
x
d
x
=
1
a
2
+
b
2
e
a
x
(
a
sin
b
x
−
b
cos
b
x
)
+
C
{\displaystyle \int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)+C}
다음과 같은 적분을 구하자.
∫
d
x
(
x
2
+
a
2
)
2
(
a
>
0
)
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}\qquad (a>0)}
다음과 같은 부분 적분을 사용하자 (구하려는 적분에 직접 적용하지 않았음에 주의하자).
∫
d
x
x
2
+
a
2
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+a^{2}}}}
=
x
x
2
+
a
2
+
2
∫
x
2
(
x
2
+
a
2
)
2
d
x
{\displaystyle ={\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}+2\int {\frac {x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}\mathrm {d} x}
=
x
x
2
+
a
2
+
2
∫
d
x
x
2
+
a
2
−
2
a
2
∫
d
x
(
x
2
+
a
2
)
2
{\displaystyle ={\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}+2\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+a^{2}}}-2a^{2}\int {\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}}
따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[ 4] :258, 예6.2.26
∫
d
f
x
(
x
2
+
a
2
)
2
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} fx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}}
=
1
2
a
2
x
x
2
+
a
2
+
1
2
a
2
∫
d
x
x
2
+
a
2
{\displaystyle ={\frac {1}{2a^{2}}}{\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}+{\frac {1}{2a^{2}}}\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+a^{2}}}}
=
1
2
a
2
x
x
2
+
a
2
+
1
2
a
3
arctan
x
a
+
C
{\displaystyle ={\frac {1}{2a^{2}}}{\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}+{\frac {1}{2a^{3}}}\arctan {\frac {x}{a}}+C}
![{\displaystyle u,v\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad8f151e16405ffd91ef57d5900ce8a7a5963b03)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\mathrm {d} x&={\bigg [}u(x)v(x){\bigg ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2409d98c621f774f02da758a2eab13c981dbfc1c)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\mathrm {d} x={\bigg [}u(x)v(x){\bigg ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/813c974cce216239e0593e65cc4733e02d39f16d)
