부호규약

물리학에서 부호규약(영어: sign convention)은 임의적으로 부호를 선택할 수 있는 경우에, 부호를 선택하여 물리적인 의미를 부여하는 것이다. 여기서 "임의적"이란 부호가 정해진 어느 물리적인 체계에서 그 부호를 서로 바꿔 선택하더라도 여전히 일관적으로 그 체계를 선택할 수 있는 것을 말한다. 이런 부호의 선택은 저자마다 다를 수 있다. 이러한 특징 때문에 책이나 문서 등에 이러한 부호규약을 명확히 나타내지 않으면 독자로 하여금 혼란이나 오해를 심어줄 수 있고, 심지어 연구에서도 명백한 오류를 일으킬 수 있다. 수직선에서 양수의 방향(오른쪽)와 음수의 방향(왼쪽)을 정하는 것 역시 하나의 부호규약이라고 볼 수 있다.

좌표계

왼손잡이 좌표계와 오른손잡이 좌표계

3차원 공간의 좌표계를 정할 때 좌표계를 정할 수 있는 방식은 두 가지가 있다. 하나는 주로 물리학에서 쓰이는 오른손잡이 좌표계로, 오른손 법칙을 따르는 좌표계이다. 다른 하나는 왼손잡이 좌표계로 오른손 좌표계의 3번째 기저가 반대로 되어 있는 좌표계이다. 왼손 좌표계는 오른손 법칙을 따르지 않는다.

상대성이론

메트릭 부호수

일반 상대성이론에서 4차원 시공간의 메트릭 부호수는 $(+,-,-,-)$ 또는 $(-,+,+,+)$ 으로 정하는 경우가 많다. (이 문서에서 메트릭을 표현할 때 시간을 0차원으로 하고, 공간을 1차원 이상으로 본다. 즉, $(+,-,-,-)$ 에서 첫번째 요소는 시간을, 나머지 요소는 공간을 의미한다.) 고차원 상대론 이론에서도 유사하게 규약을 사용한다. 즉, $(+,-,-,-,...)$ 또는 $(-,+,+,+,...)$ 이다.

일반 상대성 이론에서의 메트릭 부호수 비교
메트릭 부호수	$(+,-,-,-)$	$(-,+,+,+)$
시공간 간격규약	시간꼴(timelike)	공간꼴(spacelike)
주로 사용하는 분야	입자물리학, 일반 상대성이론	일반 상대성이론
대응하는 메트릭 텐서	${\textstyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$	${\textstyle {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$
질량과 4차원 운동량 간의 관계	${\textstyle m^{2}=p^{\mu }p_{\mu }}$	${\textstyle m^{2}=-p^{\mu }p_{\mu }}$

대표적으로 $(+,-,-,-)$ 는 란다우-립시츠의 이론물리학 교과서 시리즈인 Курс теоретической физики(en:Course of Theorical Physics)에서 사용되었고, $(-,+,+,+)$ 는 찰스 W. 미스너, 킵 S. 손, 존 아치볼드 휠러의 공저인《Gravitation》에서 사용되었다.

곡률

리치 텐서는 리만 텐서의 수축으로 정의된다. 일부는 리치텐서의 성분을 축약형으로 $R_{ab}\,=R^{c}{}_{acb}$ 를 사용하지만, 어떤 사람들은 반전된 형태로 $R_{ab}\,=R^{c}{}_{abc}$ 를 사용한다. 리만 텐서의 대칭성으로 인해 이 두 정의는 부호가 다르다.

사실, 리치 텐서의 두 번째 정의는 다음과 같다. $R_{ab}\,={R_{acb}}^{c}$ . 리치 텐서의 부호는 바뀌지 않았는데, 두 부호 규약이 리만 텐서의 부호와 관련되기 때문이다. 두 번째 정의는 부호를 보상할 뿐이며, 리만 텐서의 두 번째 정의와 함께 작동한다(Barrett O'Neill의 Semi-riemannian geometry 참조).

기하광학

왼쪽을 중심으로 곡률반경에 대한 부호규약을 설명한 그림

기하광학에서 광선의 진행방향에 따라서 부호를 결정할 수 있다. 구면 렌즈나 구면 거울의 곡률에 대해 부호규약을 정할 수 있다. 다음은 부호규약의 한 예시이다.

부호	양수	음수
$s_{o}$ , $f_{o}$	$V$ 의 왼쪽	$V$ 의 오른쪽
$s_{i}$ , $f_{i}$	$V$ 의 오른쪽	$V$ 의 왼쪽
$R$	원의 중심이 V의 왼쪽	원의 중심이 V의 오른쪽
$y_{o}$ , $y_{i}$	광축보다 위	광축보다 아래
$f$	오목거울	볼록거울

여기서 모든 빛은 왼쪽에서 오른쪽으로 나아간다고 가정하며, $V$ 는 광학계(렌즈와 거울)와 광축이 만나는 점을 의미한다. $s_{o}$ 와 $s_{i}$ 는 각각 물체와 상이 점 $V$ 로부터 떨어진 거리이고, $f$ 는 거울의 초점거리, $f_{o}$ 와 $f_{i}$ 는 각각 렌즈에서의 물체 쪽과 상 쪽의 초점거리이다. $R$ 는 구면렌즈나 구면거울의 곡률반경이고, $y_{o}$ 와 $y_{i}$ 는 각각 물체와 상의 광축에 대한 높이이다.^[1]

이 부호규약을 통해 주어지는 렌즈 제작자 공식과 렌즈의 공식은 다음과 같다.

{\frac {1}{s_{o}}}+{\frac {1}{s_{i}}}=(n_{i}-1)\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)

(렌즈 제작자 공식)

{\frac {1}{s_{o}}}+{\frac {1}{s_{i}}}={\frac {1}{f}}

(렌즈의 공식)

다른 분야의 부호규약

기준계에서의 시간과 고유시간에서의 부호 선택: 통상적으로 미래의 경우 +, 과거의 경우 -를 사용한다.
디랙 방정식에서 $\pm$ 의 결정.
고전 전기역학과 게이지 이론에서 전하의 부호, 전기장 세기 텐서 $\,F_{ab}$ .
양의 주파수 파동의 시간 의존성(예: 파동 방정식 참조 ):
- $\,e^{-i\omega t}$ (주로 물리학에서 사용)
- $\,e^{+j\omega t}$ (주로 공학에서 사용함)
유전율의 허수부에 대한 부호(사실 시간 의존성에 대한 부호 선택에 따라 결정됨).
열역학 제1법칙에서의 일의 표시.
공변 메트릭 텐서의 행렬식 가중치와 같은 텐서 밀도 가중치의 부호.
전기 공학에서의 전류, 전압 및 전력의 능동 및 수동 부호규약.