자연로그

자연로그(自然log, 영어: natural logarithm)는 e를 밑으로 하는 로그를 뜻한다. 즉, $e^{x}=y$일 때, $\ln y=x$을 자연로그라 한다.

표기

$x$의 자연로그는 $\ln x$, $\log _{e}x$, $\log x$로 표기할 수 있다. 앞의 두 표기는 모호함이 없다. 하지만 밑을 명시하지 않은 $\log x$는 수학에서는 자연로그로 사용되는 것이 흔하지만, 다른 분야에서는 상용 로그(common logarithm)로 사용되기도 하므로 혼동될 수 있다.

역사

자연로그의 개념은 1649년보다 이전에 Gregoire de Saint-Vincent와 Alphonse Antonio de Sarasa에 의해 수행되었다.

자연로그에 대한 초기 언급은 1668년 출판된 Logarithmotechnia라는 책에서 Nicholas Mercator가 기술하였지만, 수학 교사 John Speidell이 1619년 자연로그 표를 이미 구성해놓았다.

복소수의 자연로그

로그 함수는 다음과 같이 복소수로 확장할 수 있다. 먼저 오일러의 공식을 보면,

$re^{ix}=r(\cos x+i\sin x)$

양변에 자연로그를 씌우면

$re^{ix}=r(\cos x+i\sin x)$

$\therefore \ln r(\cos x+i\sin x)=ix+\ln r$

미분

$y(x)=\ln x$이면 $y$의 $x$에 대한 미분 ${dy \over dx}={\frac {1}{x}}$이며, 증명은 다음과 같다.

${\begin{aligned}{dy \over dx}&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\ln(x+\Delta x)-\ln x}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\ln {\frac {x+\Delta x}{x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\ln(1+{\frac {\Delta x}{x}})\\&=\lim _{\Delta x\to 0}\ln {(1+{\frac {\Delta x}{x}})^{\frac {1}{\Delta x}}}\\\end{aligned}}$

$u={\frac {\Delta x}{x}}$로 두면, $\Delta x\to 0$일 때 $u\to 0$이다. 따라서

${\begin{aligned}{dy \over dx}&=\lim _{u\to 0}\ln {(1+u)^{\frac {1}{ux}}}\\&=\lim _{u\to 0}{\frac {1}{x}}\ln {(1+u)^{\frac {1}{u}}}\\&={\frac {1}{x}}\lim _{u\to 0}\ln {(1+u)^{\frac {1}{u}}}\\&={\frac {1}{x}}\ln e={\frac {1}{x}}\\\end{aligned}}$

특성

• $\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt$
• $\ln e=1$
• ${e^{\ln x}}=x$
• $\ln xy=\ln x+\ln y,\quad {\text{for}}\quad x>0,y>0$
• $\ln x<\ln y\quad {\rm {for}}\quad 0<x<y$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$
• $\lim _{n\to 0}{\frac {x^{n}-1}{n}}=\ln {x}$
• $\ln x^{y}=y\,\ln x\quad {\rm {{for}\quad {\mathit {x}}>0}}$
• ${\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1\quad {\rm {{for}\quad {\mathit {x}}>0}}$
• $\ln(1+x^{\alpha })\leq \alpha x\quad {\rm {{for}\quad {\mathit {x}}\geq 0,\alpha \geq 1}}$

같이 보기

• 다중로그