작은 범주

범주론에서 작은 범주(-範疇, 영어: small category)는 그 대상의 모임과 사상의 모임이 충분히 “작은” 범주를 말한다. 그 정확한 의미는 사용하는 수학 기초론에 따라 달라지는데, 예를 들어 그로텐디크 전체를 사용할 경우 대상과 사상의 집합이 사용되는 그로텐디크 전체의 원소이어야 한다.^{:21–26, §Ⅰ.6–7}

정의

범주들의 모임을 다루려면, 원하는 수학 기초론을 선택해야 한다. 여기서는 편의상 그로텐디크 전체를 사용하자.

그로텐디크 전체 ${\mathcal {U}}$가 주어졌다고 하자. ${\mathcal {U}}$-작은 범주 ${\mathcal {C}}$는 다음 조건을 만족시키는 범주이다.^{:22, §Ⅰ.6:12, Definition 1.2.1:§6:196}

• ${\mathcal {C}}$의 대상들은 집합 $\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$을 이루며, 이는 ${\mathcal {U}}$의 원소이다.
• ${\mathcal {C}}$의 사상들은 집합 $\operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})$을 이루며, 이는 ${\mathcal {U}}$의 원소이다.

${\mathcal {U}}$-작은 범주들과, 그 사이의 함자들과, 그 사이의 자연 변환들은 2-범주를 이룬다. 이를 $\operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}$라고 표기하자.

국소적으로 작은 범주

임의의 범주 ${\mathcal {C}}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\mathcal {U}}$-국소적으로 작은 범주(${\mathcal {U}}$-局所的으로 작은範疇, 영어: locally ${\mathcal {U}}$-small category)라고 한다.^:197

• 임의의 두 대상 $X,Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$에 대하여, $\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\in {\mathcal {U}}$이다.

연산

$\operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}$는 ${\mathcal {U}}$-완비 범주이자 ${\mathcal {U}}$-쌍대 완비 범주이다. 즉, 임의의 ${\mathcal {U}}$-작은 범주 ${\mathcal {I}}$ 및 함자

$D\colon {\mathcal {I}}\to \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}$

에 대하여, $D$는 극한과 쌍대극한을 갖는다. 특히,

• $\operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}$의 시작 대상은 $\operatorname {Ob} (0)=\operatorname {Mor} (0)=\varnothing$인 유일한 범주 $0$이다.
• $\operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}$의 끝 대상은 $\operatorname {Ob} (1)=\{\bullet \}$ (한원소 집합)이며, $\operatorname {Mor} (1)=\{\operatorname {id} _{\bullet }\}$인 유일한 범주 $1$이다. (이를 준군으로 간주하면, 이는 자명군에 해당한다.)

$\operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}$는 ${\mathcal {U}}$-국소적으로 작은 데카르트 닫힌 범주이며, 이 경우 지수 대상 $\hom(-,-)$은 (두 ${\mathcal {U}}$-작은 범주 사이의) 함자와 자연 변환의 범주 $\hom _{\operatorname {Cat} }(-,-)$이다. 다시 말해, 두 ${\mathcal {U}}$-작은 범주 사이의 함자 범주는 ${\mathcal {U}}$-작은 범주이다.^:196

성질

${\mathcal {U}}$-국소적으로 작은 범주 ${\mathcal {C}}$가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

• 임의의 기수 $\kappa \leq |{\mathcal {U}}|$와 임의의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$에 대하여, 곱 $X^{\times \kappa }$이 존재한다.

그렇다면 ${\mathcal {C}}$는 원순서 집합이다. ^{:Theorem 2.1}즉, 임의의 두 대상 사이의 사상의 수는 1개 이하이다.

증명:

임의의 두 대상 $X,Y\in {\mathcal {C}}$이 주어졌다고 하자. 이제,

$|\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)|\leq 1$

임을 보이면 족하다.

사상 집합

$\hom _{\mathcal {C}}(X,Y^{|{\mathcal {U}}|})$

의 크기는 (각 성분마다 $\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)$의 한 원소를 고를 수 있으므로) 다음과 같다.

$\left|\hom _{\mathcal {C}}(X,Y^{|\operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})|})\right|=|\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)|^{|{\mathcal {U}}|}$

(여기서 우변은 기수의 거듭제곱이다.) 그런데 정의에 따라

$\left|\hom _{\mathcal {C}}(X,Y^{|{\mathcal {U}}|})\right|<|{\mathcal {U}}|$

이므로, 칸토어의 정리에 따라서 $|\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)|\leq 1$이다.

범주 ${\mathcal {C}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\mathcal {C}}$는 ${\mathcal {U}}$-작은 범주와 동치이다.
• ${\mathcal {C}}$는 ${\mathcal {U}}$-국소적으로 작은 범주이며, 준층 범주 $\operatorname {PSh} ({\mathcal {C}})=\operatorname {Set} _{\mathcal {U}}^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}$ 역시 ${\mathcal {U}}$-국소적으로 작은 범주이다.

함자

$\operatorname {Set} _{\mathcal {U}}$가 ${\mathcal {U}}$-작은 집합과 함수의 범주라고 하자. 즉, 다음과 같은 범주라고 하자.

• $\operatorname {Ob} (\operatorname {Set} _{\mathcal {U}})={\mathcal {U}}$
• $\operatorname {Set} _{\mathcal {U}}$의 사상은 ${\mathcal {U}}$에 속하는 함수이다.

그렇다면, 망각 함자

$\operatorname {Ob} \colon \operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}\to \operatorname {Set} _{\mathcal {U}}$

$\operatorname {Ob} \colon {\mathcal {C}}\mapsto \operatorname {Ob} ({\mathcal {U}})$

가 존재한다. 이는 오른쪽 수반 함자를 가지며, 이는 임의의 집합 $S$를 다음과 같은 범주로 대응시킨다.

• 대상은 $S$의 원소이다.
• 모든 사상은 항등 사상이다.

예

임의의 ${\mathcal {U}}$-작은 아벨 범주 ${\mathcal {A}}$에 대하여, 그 유도 범주 $\operatorname {D} ({\mathcal {A}})$를 취할 수 있다. 그러나 일반적으로 $\operatorname {D} ({\mathcal {A}})$는 ${\mathcal {U}}$-작은 범주가 아니며, 이를 다루려면 더 큰 그로텐디크 전체를 사용하거나, 또는 그로텐디크 아벨 범주 조건을 가정해야 한다.

칸토어 역설에 따라, $\operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}$는 $\operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}$의 대상이 아니다. 다만, ${\mathcal {U}}$를 포함하는 더 큰 그로텐디크 전체 ${\mathcal {U}}'\ni {\mathcal {U}}$이 주어졌을 때, $\operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}$는 $\operatorname {Cat} _{{\mathcal {U}}'}$의 대상이 되며, 이 경우 포함 함자

$\operatorname {Cat} _{\mathcal {U}}\hookrightarrow \operatorname {Cat} _{{\mathcal {U}}'}$

가 주어진다.

외부 링크

• “Small category”. 《nLab》 (영어). 
• “Large category”. 《nLab》 (영어). 
• “Complete small category”. 《nLab》 (영어). 
• “CAT”. 《nLab》 (영어). 
• “Cat”. 《nLab》 (영어). 
• “Free category”. 《nLab》 (영어). 
• “Universe enlargement”. 《nLab》 (영어). 
• “Universe polymorphism”. 《nLab》 (영어). 
• Shulman, Michael A. (2010년 11월 23일). “Universe enlargement” (영어). 2015년 9월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 8월 11일에 확인함. 
• “On the large cardinals foundations of categories” (영어). Math Overflow. 
• “What’s a reasonable category that is not locally small?” (영어). Math Overflow.