거듭제곱

수학에서 거듭제곱(영어: exponentiation) 또는 승멱(乘冪) 또는 멱(冪)은 같은 수를 주어진 횟수만큼 여러 번 곱하는 이항 연산이다. 여러 번 곱하는 수를 밑(영어: base)이라고 하고, 곱하는 횟수를 지수(指數, 문화어: 어깨수, 영어: exponent, power)라고 한다. 밑이 $a$ , 지수가 $n$ 인 거듭제곱을 $a$ 의 $n$ 제곱이라고 하고, 그 기호는 $a^{n}$ 이다. 때로는 거듭제곱의 밑을 기저로 부르기도 한다.

정의

정수 제곱

실수 $a$ 및 자연수 $n$ 에 대하여, $a$ 의 $n$ 제곱은 다음과 같다.

a^{n}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{n}

즉, $a$ 를 $n$ 번 반복하여 곱한 결과이다. 이는 다음의 재귀적 정의와 동치이다.

a^{1}=a

a^{k+1}=a^{k}\times a\qquad (k\in \mathbb {N} )

0이 아닌 실수 $a$ 에 대하여, $a$ 의 0제곱은 다음과 같다.

a^{0}=1

즉, 0이 아닌 실수의 0제곱은 항상 1이다. 0의 0제곱 0⁰은 정의하지 않는다.

0이 아닌 실수 $a$ 및 음의 정수 $-n$ (즉, $n$ 은 양의 정수)에 대하여, $a$ 의 $-n$ 제곱은 다음과 같다.

a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}

즉, 0이 아닌 실수의 음의 정수 제곱은, 우선 그 음의 정수의 절댓값인 양의 정수를 지수로 하여 거듭제곱을 구한 뒤, 다시 역수를 취한 결과이다. 0의 음의 정수 제곱은 정의하지 않는다.

유리수 제곱

지수가 유리수인 거듭제곱을 거듭제곱근을 사용하여 정의할 수 있다. 우선, 실수 $a$ 및 양의 정수 $n$ 에 대하여 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 를 정의하자. 이를 위해 방정식 $x^{n}=a$ 의 근을 생각하자. 자명하게, $a$ 가 0일 경우 복소수 범위에서의 근이 $x=0$ 뿐이며, 그 중복도는 $n$ 이다. $a$ 가 0이 아닌 실수일 경우 서로 다른 복소근이 $n$ 개 존재한다. $n$ 이 홀수일 경우나, $n$ 이 짝수이며 $a$ 가 음이 아닌 실수일 경우, 서로 반수인 실근이 한 쌍 존재하며, 여기서 양의 실수인 근을 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 라 정의한다. $n$ 이 짝수이며 $a$ 가 음의 실수일 경우, 실근이 존재하지 않으므로, ${\sqrt[{n}]{a}}$ 를 정의하지 않는다.

이제 지수가 유리수인 거듭제곱을 정의하자. 유리수는 분모가 양의 정수인 기약 분수의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있으므로, 우선 유리수 지수를

{\frac {m}{n}}\qquad (m,n\in \mathbb {Z} ;\;n>0;\;\gcd\{m,n\}=1)

라 하자. 그렇다면 이 거듭제곱은 다음과 같이 정의된다.

a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}

즉, 양의 유리수 제곱은 기약 분수 꼴의 분자를 지수로 하여 거듭제곱을 취한 뒤, 분모만큼 거듭제곱근을 취한 결과이다. 분모 $n$ 이 홀수일 경우 이 거듭제곱은 임의의 실수 밑 $a$ 에 대하여 정의된다. 짝수일 경우, 이 거듭제곱은 임의의 음이 아닌 실수 밑 $a$ 에 대하여 정의되며, 음의 실수 밑의 경우 정의되지 않는다. 물론 모든 정수는 유리수이므로 정수 제곱의 앞선 두 정의가 일치하는지 검증하여야 하며, 이는 쉽게 검증된다.

다만, 이는 실숫값 이항 연산으로서의 정의이다. 즉, $a^{\frac {m}{n}}$ 은 단지 방정식 $x^{n}=a^{m}$ 의 여러 개의 복소근 가운데 양의 실수인 하나이다. 만약 방정식 $x^{n}=a^{m}$ 의 모든 복소근을 찾는 다가 함수로서 정의한다면, 이 거듭제곱은 모든 실수를 비롯한 모든 복소수 밑 $a$ 에 대하여 정의되며, 중근을 포함하여 $n$ 개의 (실수 또는 복소수 값의) '함숫값'을 갖는다.

실수 제곱

거듭제곱의 지수를 무리수의 범위까지 확장하는 방법은 다음과 같은 두 가지가 있다. 어느 정의를 사용하든 지수가 유리수일 경우에 유리수 제곱으로서의 정의와 실수 제곱으로서의 정의가 일치하는지 살펴야 하며, 이는 쉽게 검증된다.

유리수 제곱 근사를 통한 정의

양의 실수 $a$ 와 $x$ 에 대하여, $a$ 의 $x$ 제곱을 다음과 같이 유리수 제곱의 근사를 통해 정의할 수 있다.

a^{x}=\lim _{\mathbb {Q} \ni q\to x}a^{q}

즉, 양의 실수의 실수 제곱은 유리수 지수가 실수 지수에 다다를 때 거듭제곱이 갖는 극한이다. 이는 다음 정의와 동치이다.

a^{x}=\sup _{q\in \mathbb {Q} \colon q<x}a^{q}

즉, 이는 실수 지수보다 작은 유리수를 지수로 하여 만든 거듭제곱들의 집합의 상한이다.

로그를 통한 정의

양의 실수의 실수 제곱을 지수 함수와 로그 함수를 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 실수 지수 함수

\mathbb {R} \to (0,+\infty )

x\mapsto e^{x}

는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 이는 서로 동치이다.

(수열의 극한)

e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}

(거듭제곱 급수)

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}

또한 실수 로그 함수는 지수 함수의 역함수이다.

\ln =\exp ^{-1}

이제 양의 실수의 실수 제곱을 정의하자. 양의 실수 $a$ 와 실수 $x$ 에 대하여, $a$ 의 $x$ 제곱은 다음과 같다.

a^{x}=e^{x\ln a}

복소수 제곱

거듭제곱 연산은 복소수에 대하여 확장할 수 있다. 확장한 뒤의 연산은 실수의 경우와 달리 연산 결과가 여러 값이며, 밑이 음의 실수인 경우에도 정의 가능하다. 실수와 마찬가지로, 0이 아닌 복소수의 복소수 제곱은 지수와 로그를 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 복소수 지수 함수

\mathbb {C} \to \mathbb {C} \setminus \{0\}

z\mapsto e^{z}

는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 이는 서로 동치이다.

(수열의 극한)

e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}

(거듭제곱 급수)

e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}

실수의 경우 이는 실수 지수 함수와 일치한다. 오일러의 공식

e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \qquad (\theta \in \mathbb {R} )

과 지수 함수 법칙에 따라 구체적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

e^{z}=e^{\operatorname {Re} z}(\cos \operatorname {Im} z+i\sin \operatorname {Im} z)\qquad (z\in \mathbb {C} )

또한 복소수 로그 함수는 복소수 지수 함수의 '역함수'이다.

\operatorname {Ln} =\exp ^{-1}

그러나 이는 복소수 지수 함수가 가역 함수가 아니므로 다가 함수이다. 이를 복소수에 복소수 집합을 대응시키는 함수라 여기자. 그러면 이는 구체적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\operatorname {Ln} z=\ln |z|+i\operatorname {Arg} z\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \{0\})

이제 0이 아닌 복소수의 복소수 제곱을 정의하자. 0이 아닌 복소수 $z$ 와 복소수 $w$ 에 대하여, $z$ 의 $w$ 제곱은 다음과 같다.

z^{w}=e^{w\operatorname {Ln} z}

복소수 로그 함수가 다가 함수이므로, 이 거듭제곱 역시 다가 함수이다. (자세히...)

성질

연산 법칙

자연수 $n$ 에 대해, 거듭제곱 $a^{n}$ (a는 실수)은 다음과 같이 정의된다.

{{a^{n}=} \atop {\ }}{{\underbrace {a\times \cdots \times a} } \atop n}

이것은 곱셈 연산이 덧셈을 반복하는 것과 유사하다. 또한 정의에 따라, 다음의 식이 성립한다.

$a^{1}=a$
${a^{b}}{a^{c}}=a^{b+c}$
$(a^{n})^{m}=a^{nm}$
$(a^{b})^{c}=(a^{c})^{b}$
${a^{c}}{b^{c}}=(ab)^{c}$
$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$

{a^{5}}={a\times a\times a\times a\times a}=({a\times a\times a})\times ({a\times a})=a^{3}\times a^{2}=a^{3+2}=a^{5}=({a\times a})\times ({a\times a\times a})=a^{2+3}=a^{5}

{{a^{5}} \over {a^{5}}}={{a\times a\times a\times a\times a} \over {a\times a\times a\times a\times a}}={{{\cancel {a}}\times {\cancel {a}}\times {\cancel {a}}\times {\cancel {a}}\times {\cancel {a}}} \over {{\cancel {a}}\times {\cancel {a}}\times {\cancel {a}}\times {\cancel {a}}\times {\cancel {a}}}}={1 \over 1}=1

{{a^{5}} \over {a^{5}}}=a^{5-5}=a^{0}=1

$(-a)^{1}=-a$
$(-a)^{2}=-a\cdot -a=+a^{2}$
$(-a)^{3}=-a\cdot -a\cdot -a=-a^{3}$
$(-a)^{0}={-a \over -a}=+1$

다음과 같은 귀납적 정의도 가능하다.

$a^{1}=a$

$a^{n+1}=a\times a^{n},\ n=1,2,3,\cdots$

다가성

응용

기수법

거듭제곱의 성질은 기수법과 진수의 체계를 이룬다.

\;\;a^{n}=x

일때,

a^{n}

의 밑은

a

이고, 지수는

n

, 진수는

x

이다.

같이 보기

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Exponentiation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Complex exponentiation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Exponentiation”. 《PlanetMath》 (영어).
“Exponential”. 《PlanetMath》 (영어).
“Fraction power”. 《PlanetMath》 (영어).
“General power”. 《PlanetMath》 (영어).