이상적인 진자의 운동은 다음 미분방정식 의 형태로 표현된다.
d
2
θ
d
t
2
+
g
l
sin
θ
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0}
이때 이상적인 진자란, 다음의 전제를 포함한다.
줄의 질량은 무시할 수 있을 정도로 작다.
추는 부피가 없는 하나의 질점으로 취급한다.
운동은 2차원에서만 일어난다.
저항이나 마찰력에 의해 에너지 손실이 없다.
균일한 중력장 속에서의 운동이다.
축은 움직이지 않는다. 진자에 작용하는 힘 오른쪽 그림과 같이 진자의 추에는 중력과 장력이 작용한다. 두 힘의 합력은 다음과 같이 나타난다.
−
m
g
sin
θ
{\displaystyle -mg\sin \theta }
한편, 미소 거리
d
x
{\displaystyle dx}
d
θ
{\displaystyle d\theta }
d
x
=
l
d
θ
{\displaystyle dx=ld\theta }
이때
l
{\displaystyle l}
d
2
x
=
l
d
2
θ
{\displaystyle d^{2}x=ld^{2}\theta }
따라서 뉴턴의 제 2법칙(
F
=
m
a
=
m
d
2
x
d
t
2
{\displaystyle F=ma=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}
−
m
g
sin
θ
=
m
l
d
2
θ
d
t
2
{\displaystyle -mg\sin \theta =m{\frac {ld^{2}\theta }{dt^{2}}}}
정리하여 다음을 얻는다.
d
2
θ
d
t
2
+
g
l
sin
θ
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0}
진자의 운동을 기술하는 식
d
2
θ
d
t
2
+
g
l
sin
θ
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0}
sin
θ
≈
θ
{\displaystyle \sin \theta \approx \theta }
d
2
θ
d
t
2
+
g
l
θ
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\theta =0}
위 식은 단순 조화 운동의 방정식이다. 이 방정식의 해는 다음 꼴로 나타난다.
θ
(
t
)
=
A
sin
(
ω
t
−
ϕ
)
{\displaystyle \theta (t)=A\sin(\omega {}t-\phi )}
이때 각속도
ω
=
g
/
l
{\displaystyle \omega ={\sqrt {g/l}}}
A
{\displaystyle A}
ϕ
{\displaystyle \phi }
진폭이 작을 때, 진자의 진동 주기
T
{\displaystyle T}
2
π
/
ω
{\displaystyle 2\pi /\omega }
T
=
2
π
l
g
{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}
즉, 진자의 주기는 중력가속도
g
{\displaystyle g}
l
{\displaystyle l}
진폭이 클 때, 주기는 진폭에 따라 점차 증가한다. 실제 주기는 여러 형태로 표현될 수 있으며 아래는 한가지 예이다.
T
=
2
π
L
g
(
1
+
1
16
θ
0
2
+
11
3072
θ
0
4
+
⋯
)
{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {L \over g}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)}
다른 뜻에 대해서는 진자 (동음이의) 문서를 참고하십시오.
