파라콤팩트 공간

일반위상수학에서 파라콤팩트 공간(paracompact空間, 영어: paracompact space)은 단위 분할의 존재를 증명하기 위하여 필요한, 콤팩트 공간의 개념의 일반화이다. 수학에서 흔히 사용되는 대부분의 공간은 파라콤팩트 공간이며, 파라콤팩트성을 가정하면 단위 분할을 통해 해석학적 구조를 쉽게 정의할 수 있다.

정의

위상 공간 $X$ 위의 집합족 $\{U_{i}\}_{i\in I}$가 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 열린 덮개 $\{V_{j}\}_{j\in J}$가 존재한다면, $\{U_{i}\}_{i\in I}$를 국소 유한 집합족(영어: locally finite family of sets)이라고 한다.^:68

• 임의의 $j\in J$에 대하여, $\{i\in I\colon U_{i}\cap V_{j}\neq \varnothing \}$는 유한 집합이다.

즉, 국소 유한 집합족은 모든 점에서 유한 개의 집합족 원소들과 겹치는 근방을 잡을 수 있는 집합족이다.

위상 공간 $X$ 위의 임의의 열린 덮개에 대하여 국소 유한 열린 덮개인 세분을 찾을 수 있다면, $X$를 파라콤팩트 공간이라고 한다.^:68

메타콤팩트 공간

파라콤팩트 공간의 정의를 변형시켜 다음과 같은 개념들을 정의할 수 있다.

• 메조콤팩트 공간(영어: mesocompact space)
• 메타콤팩트 공간(영어: metacompact space)
• 직교 콤팩트 공간(直交-, 영어: orthocompact space)

위상 공간 $X$의 집합족 $\{U_{i}\}_{i\in I}$가 다음 조건을 만족시키면, 콤팩트 유한 집합족(compact有限-, 영어: compact-finite family of sets)이라고 한다.^:23

• 임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq X$에 대하여, $\{i\in I\colon K\cap U_{i}\neq \varnothing \}$는 유한 집합이다.

즉, 콤팩트 유한 집합족은 모든 콤팩트 집합이 유한 개의 집합족 원소와 만나는 집합족이다.

위상 공간 $X$의 집합족 $\{U_{i}\}_{i\in I}$가 다음 조건을 만족시키면, 점 유한 집합족(點有限-, 영어: point-finite family of sets)이라고 한다.

• 임의의 $x\in X$에 대하여, $\{i\in I\colon x\in U_{i}\}$는 유한 집합이다.

즉, 점 유한 집합족은 모든 점이 유한 개의 집합족 원소에만 포함되는 집합족이다.

위상 공간 $X$의 열린집합들의 집합족 $\{U_{i}\}_{i\in I}$가 다음 조건을 만족시키면, 내부 보존 집합족(內部保存-, 영어: interior-preserving family of sets)이라고 한다.

• 임의의 $x\in X$에 대하여, $\bigcap \{U_{i}\colon i\in I,\,x\in U_{i}\}$는 열린집합이다.

이 개념들로부터, 다음과 같은 꼴의 정의를 내릴 수 있다.

위상 공간 $X$ 위의 임의의 열린 덮개가 조건 P를 만족시키는 열린 세분을 갖는다면, $X$를 ~ 공간이라고 한다.

이 정의들은 다음과 같다.

개념	세분의 조건
파라콤팩트 공간	국소 유한 열린 덮개
메조콤팩트 공간	콤팩트 유한 열린 덮개:200
메타콤팩트 공간	점 유한 열린 덮개
직교 콤팩트 공간	내부 보존 열린 덮개

가산 파라콤팩트 공간

파라콤팩트·메조콤팩트·메타콤팩트·직교 콤팩트 공간의 정의에서, “임의의 열린 덮개”를 “가산 열린 덮개”로 약화시키면

• 가산 파라콤팩트 공간(영어: countably paracompact space)
• 가산 메조콤팩트 공간(영어: countably mesocompact space)
• 가산 메타콤팩트 공간(영어: countably metacompact space)
• 가산 직교 콤팩트 공간(영어: countably orthoparacompact space)

의 개념을 얻는다. 예를 들어, 가산 파라콤팩트 공간은 모든 가산 열린 덮개가 국소 유한 열린 덮개인 세분을 갖는 위상 공간이다.

성질

~콤팩트 공간과 콤팩트 공간의 곱공간에 대하여 다음이 성립한다.

• 콤팩트 공간과 파라콤팩트 공간의 곱공간은 파라콤팩트 공간이다.^:260
• 콤팩트 공간과 메조콤팩트 공간의 곱공간은 메조콤팩트 공간이다.
• 콤팩트 공간과 메타콤팩트 공간의 곱공간은 메타콤팩트 공간이다.
• 콤팩트 공간과 가산 파라콤팩트 공간의 곱공간은 가산 파라콤팩트 공간이다.^{:159, 21A.3}

그러나 직교 콤팩트 공간의 경우 이러한 꼴의 정리가 성립하지 않는다. 이에 대한 부분적인 결과인 스콧 정리(영어: Scott’s theorem)에 따르면, 임의의 직교 콤팩트 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X\times [0,1]$은 직교 콤팩트 공간이다.
• $X$는 가산 메타콤팩트 공간이다.

또한, ~콤팩트 공간의 닫힌집합에 대하여 다음이 성립한다.

• 파라콤팩트 공간의 닫힌집합은 파라콤팩트 공간이다.^:254
• 메조콤팩트 공간의 닫힌집합은 메조콤팩트 공간이다.
• 메타콤팩트 공간의 닫힌집합은 메타콤팩트 공간이다.
• 직교 콤팩트 공간의 닫힌집합은 직교 콤팩트 공간이다.
• 가산 파라콤팩트 공간의 닫힌집합은 가산 파라콤팩트 공간이다.^{:159, 21A.2}

한편, 일반적으로 파라콤팩트 공간의 임의의 부분공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않으므로 파라콤팩트성은 유전적 성질이 아니다. 또한, 콤팩트 공간들을 모으면 티호노프 정리에 의해 그 곱공간 역시 콤팩트 공간이 되는 것과는 다르게, 파라콤팩트 공간의 임의의 곱공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않는다.^:253

콤팩트성과의 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

콤팩트 공간	→	파라콤팩트 공간	→	메조콤팩트 공간	→	메타콤팩트 공간	→	직교 콤팩트 공간
↓		↓		↓		↓		↓
가산 콤팩트 공간	→	가산 파라콤팩트 공간	→	가산 메조콤팩트 공간	→	가산 메타콤팩트 공간	→	가산 직교 콤팩트 공간

이 밖에도, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

• 파라콤팩트 희박 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
• 메타콤팩트 가산 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
• 파라콤팩트 정칙 공간은 준파라콤팩트 공간이다.
• 모든 열린 덮개가 국소 유한 세분을 갖는 정칙 공간은 파라콤팩트 공간이다.
• (모리타 정리 영어: Morita’s theorem) 정칙 린델뢰프 공간은 파라콤팩트 공간이다.^:257 특히, 모든 국소 콤팩트 하우스도르프 제2 가산 공간은 파라콤팩트 공간이다. 반대로, 가산 강하향 반사슬 조건을 만족시키는 파라콤팩트 공간은 린델뢰프 공간이다. 특히, 분해 가능 파라콤팩트 공간은 린델뢰프 공간이다.
• 국소 콤팩트 연결 위상군은 파라콤팩트 공간이다.^:261
• 완전 정규 공간은 가산 파라콤팩트 공간이다.^{:159, 21A.1}
• 순서 위상을 갖춘 전순서 집합의 임의의 부분 집합은 직교 콤팩트 공간이자 가산 파라콤팩트 공간이다.^:17
• 순서 위상을 갖춘 전순서 집합이 메타콤팩트 공간이라면, 파라콤팩트 공간이다.^{:199, Theorem 1}

파라콤팩트 하우스도르프 공간

파라콤팩트 공간에 하우스도르프 공간의 조건을 추가하면, 여러 유용한 성질들이 성립한다. (이 때문에, 일부 문헌에서는 모든 파라콤팩트 공간이 하우스도르프 공간이 되게 정의한다.) 이 가운데 가장 중요한 것인 디외도네 정리(영어: Dieudonne’s theorem)에 따르면, 모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이다.^:253 모리타 정리와 디외도네 정리로부터, 하우스도르프 린델뢰프 공간에 대하여 다음 조건들이 서로 동치임을 알 수 있다.

• 정칙 공간이다.
• 정규 공간이다.
• 파라콤팩트 공간이다.

하우스도르프 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 파라콤팩트 공간이다.
• 임의의 열린 덮개에 대하여, 이에 종속되는 단위 분할이 존재한다.
• 모든 열린 덮개는 열린 성형 세분을 갖는다.^{:151, Corollary 20.15}
• 모든 열린 덮개는 열린 무게 중심 세분을 갖는다.^{:149, Theorem 20.14}

따라서, 파라콤팩트성은 미분기하학에서 핵심적인 단위 분할의 개념과 밀접하게 연관되어 있다.

또한, 스미르노프 거리화 정리에 따르면, 임의의 위상 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^:261

• 파라콤팩트 하우스도르프 국소 거리화 가능 공간이다.
• 거리화 가능 공간이다.

따라서, 파라콤팩트 공간의 개념은 거리화 가능성과 밀접하게 연관되어 있다. 특히, 모든 거리 공간은 파라콤팩트 공간이다.

이 밖에도, 파라콤팩트 하우스도르프 공간에 대하여 다음이 성립한다.

• 완전 사상(영어: perfect map) $f\colon X\to Y$에 대하여, $Y$가 파라콤팩트 공간일 때 $X$도 파라콤팩트 공간이다.^{:260, Exercise 8.(a)} 닫힌 연속 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, $X$가 파라콤팩트 하우스도르프 공간일 때 $f(X)$ 역시 파라콤팩트 하우스도르프 공간이다.^{:823, Corollary 1:148, Theorem 20.12.(b):260, Exercise 8.(b)}
• 완전 사상(영어: perfect map) $f\colon X\to Y$에 대하여, $Y$가 메타콤팩트 하우스도르프 공간일 때 $X$도 메타콤팩트 하우스도르프 공간이다.^{:329, Exercise 5.3.H} 닫힌 연속 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, 만약 $X$가 메타콤팩트 하우스도르프 공간이며, $Y$가 하우스도르프 공간일 때, $f(X)$ 역시 메타콤팩트 하우스도르프 공간이다.^{:325, Theorem 5.3.7}
• 정규 하우스도르프 공간의 유한 개 파라콤팩트 닫힌집합들의 합집합 역시 파라콤팩트 집합이다.^:260
• 정규 하우스도르프 공간 $X$ 속의 가산 개 파라콤팩트 닫힌집합들의 내부가 이루는 집합족이 $X$의 덮개를 이룰 때, 그 합집합 역시 파라콤팩트 집합이다.^:260

예

긴 직선은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이지만, 파라콤팩트 공간이 아니다.

조르겐프라이 직선은 파라콤팩트 공간이지만, 두 조르겐프라이 직선의 곱공간은 파라콤팩트 공간이 아니다.

역사

1940년에 존 윌더 튜키(영어: John Wilder Tukey)는 "완전 정규 공간"(영어: fully normal space)이라는 개념을 정의하였다.^:165 1944년에 프랑스의 수학자 장 디외도네는 파라콤팩트 공간의 개념을 정의하였다.^:165 1948년에 아서 해럴드 스톤(영어: Arthur Harold Stone)은 완전 정규 공간의 개념과 파라콤팩트 공간의 개념이 (하우스도르프 조건 아래) 서로 동치임을 증명하였다.^:165

모리타 정리는 모리타 기이치가 1948년에 증명하였다.^:165

참고 문헌

• Fletcher, P.; Lindgren, W. F. (1982). 《Quasi-uniform spaces》 (영어). Marcel Dekker. ISBN 0-8247-1839-9. 

외부 링크

• “Paracompact space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Paracompact space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Paracompact topological space”. 《nLab》 (영어). 
• “Paracompact space”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Cartesian products of two paracompact spaces”. 《Dan Ma’s Topology Blog》 (영어). 2012년 11월 8일. 
• “CCC + Paracompact => Lindelof”. 《Dan Ma’s Topology Blog》 (영어). 2009년 10월 18일.