수학 에서 기수 (基數, 영어 : cardinal number )는 집합 의 크기 를 나타내는 수이다. 유한 집합 의 크기는 자연수 로 나타내어지는데, 이를 무한 집합 에 대하여 일반화한 개념이다. 무한 집합의 진부분집합 은 자신이 포함된 집합 전체와 같은 크기를 가질 수도 있다. 모든 무한 집합이 같은 크기를 갖는 것은 아니며, 무한히 많은 서로 다른 크기의 무한 집합들이 있다.
ℵ0 은 가장 작은 무한 기수이다.
두 집합
S
{\displaystyle S}
T
{\displaystyle T}
전단사 함수 가 존재한다면
S
≈
T
{\displaystyle S\approx T}
동치 관계 를 이룬다. 그렇다면 기수 는 집합의 이 동치 관계에 대한 동치류 로 정의할 수 있다. 그러나 체르멜로-프렝켈 집합론 에서는 이러한 동치류는 고유 모임 이 되며, 이는 기술적으로 문제를 일으킨다. 예를 들어, 기수들의 집합을 정의할 수 없다. 반면, 유형 이론 이나 새 기초 (영어 : New Foundations ) 등의 체계에서는 이 정의를 그대로 사용할 수 있다. 예를 들어, 유형 이론 을 사용하는 《수학 원리 》에서 이 정의가 사용된다.
선택 공리 를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론 에서는 집합의 동치류의 대표원을 다음과 같이 고를 수 있다. 이는 존 폰 노이만 이 도입한 정의다.
집합
X
{\displaystyle X}
크기
|
X
|
{\displaystyle |X|}
전단사 함수
X
→
α
{\displaystyle X\to \alpha }
α
{\displaystyle \alpha }
|
X
|
=
min
{
α
∈
Ord
:
α
≅
X
}
{\displaystyle |X|=\min\{\alpha \in \operatorname {Ord} \colon \alpha \cong X\}}
순서수의 고유 모임 은 정렬 순서 를 갖추었으므로 이 최소는 항상 존재한다.
특정한 집합의 크기 가 되는 순서수 를 기수 라고 한다. 예를 들어, 모든 자연수 는 기수이며, 순서수
ω
{\displaystyle \omega }
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
순서수
ω
+
1
{\displaystyle \omega +1}
ω
2
{\displaystyle \omega 2}
ω
ω
{\displaystyle \omega ^{\omega }}
ω
ω
ω
{\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}}
ω
{\displaystyle \omega }
집합의 크기 를 가지므로 기수가 아니다.
선택 공리 를 가정하지 않는다면, 위와 같은 폰 노이만 정의를 사용할 수 없다. 이를 피하기 위해 다음과 같은, 데이나 스콧 이 도입한 정의를 사용할 수 있다. 이 정의를 스콧 계교 (Scott計巧, 영어 : Scott’s trick )라고 한다.[ 1] :442, №. 626t
임의의 집합
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
계수
α
=
min
{
β
∈
Ord
:
∃
X
~
∈
V
β
:
|
X
|
=
|
X
~
|
}
{\displaystyle \alpha =\min \left\{\beta \in \operatorname {Ord} \colon \exists {\tilde {X}}\in V_{\beta }\colon |X|=|{\tilde {X}}|\right\}}
를 찾을 수 있다. (여기서
V
β
{\displaystyle V_{\beta }}
폰 노이만 전체 의 단계이다.) 이 경우,
X
{\displaystyle X}
크기
card
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {card} (X)}
V
α
{\displaystyle V_{\alpha }}
X
{\displaystyle X}
card
(
X
)
=
{
X
~
∈
V
α
:
|
X
|
=
|
X
~
|
}
{\displaystyle \operatorname {card} (X)=\left\{{\tilde {X}}\in V_{\alpha }\colon |X|=|{\tilde {X}}|\right\}}
기수 는 어떤 집합의 크기가 되는 집합이다. 즉, 집합
S
{\displaystyle S}
기수 라고 한다.
S
{\displaystyle S}
공집합 이 아니다.
S
{\displaystyle S}
계수 를 가지며, 같은 크기 이다.
S
{\displaystyle S}
α
∈
Ord
{\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ord} }
순서수
β
<
α
{\displaystyle \beta <\alpha }
X
∈
V
β
{\displaystyle X\in V_{\beta }}
X
{\displaystyle X}
S
{\displaystyle S}
순서수 와 마찬가지로, 기수에 대하여 덧셈과 곱셈 등을 정의할 수 있다. 이러한 연산은 자연수 에 국한하면 자연수의 연산과 같다. 무한 기수의 연산은 무한 순서수 의 연산과 매우 다르며, 무한 기수 경우 이들 연산은 대부분 자명하다.
두 기수
κ
{\displaystyle \kappa }
λ
{\displaystyle \lambda }
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
만약 단사 함수
A
↪
B
{\displaystyle A\hookrightarrow B}
가 존재한다면,
κ
≤
λ
{\displaystyle \kappa \leq \lambda }
라고 정의한다. 마찬가지로, 만약 전사 함수
A
↠
B
{\displaystyle A\twoheadrightarrow B}
가 존재하거나
B
{\displaystyle B}
κ
≥
λ
{\displaystyle \kappa \geq \lambda }
로 정의한다.
선택 공리 를 가정하면, 모든 기수
κ
{\displaystyle \kappa }
바로 뒤 기수 (영어 : successor )
κ
+
{\displaystyle \kappa ^{+}}
κ
<
λ
<
κ
+
{\displaystyle \kappa <\lambda <\kappa ^{+}}
λ
{\displaystyle \lambda }
κ
+
{\displaystyle \kappa ^{+}}
n
+
=
n
+
1
{\displaystyle n^{+}=n+1}
알레프 수 의 경우
ℵ
α
+
=
ℵ
α
+
1
{\displaystyle \aleph _{\alpha }^{+}=\aleph _{\alpha +1}}
이다.
유한 기수의 따름 기수는 따름 순서수 와 차이가 없으나, 무한의 경우에는 무한 순서수와 그 따름 순서수의 크기가 같으므로 다른 정의를 필요로 한다. 따라서, 폰 노이만 기수 배정법 과 선택 공리 를 이용해 기수 κ의 따름 기수 κ+ 를 다음과 같이 정의한다:
κ
+
=
|
inf
{
λ
∈
Ord
|
κ
<
|
λ
|
}
|
.
{\displaystyle \kappa ^{+}=|\inf\{\lambda \in \operatorname {Ord} \ |\ \kappa <|\lambda |\}|.}
여기에서
Ord
{\displaystyle \operatorname {Ord} }
고유 모임 이다. 하르톡스의 정리 에 따르면 임의의 정렬 가능 기수에 대해 그보다 더 큰 정렬 가능 기수를 구성할 수 있으므로, 위의 집합이 공집합이 아니며, 또한 순서수는 정렬 집합 이므로 최소 원소가 실제로 존재한다. 따라서 κ와 κ+ 사이에 기수가 존재하지 않는다.
두 기수의 덧셈과 곱셈 및 거듭제곱은 다음과 같다.
(덧셈)
κ
+
λ
=
|
A
⊔
B
|
{\displaystyle \kappa +\lambda =|A\sqcup B|}
(곱셈)
κ
λ
=
|
A
×
B
|
{\displaystyle \kappa \lambda =|A\times B|}
(거듭제곱)
κ
λ
=
|
A
B
|
{\displaystyle \kappa ^{\lambda }=|A^{B}|}
즉, 함수
B
→
A
{\displaystyle B\to A}
모든 기수의 모임 은 고유 모임 이다 (칸토어 역설 ). 선택 공리 를 가정한다면, 기수의 고유 모임 의 순서는 정렬 순서 이다. 알레프 함수
ℵ
:
Ord
→
Card
{\displaystyle \aleph \colon \operatorname {Ord} \to \operatorname {Card} }
는 순서수의 고유 모임 과 무한 기수의 고유 모임 의 일대일 대응 을 정의하며, 이는 정렬 순서 를 갖춘 고유 모임 의 동형사상이다.
모든 무한 기수는 극한 순서수 이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어,
ω
⋅
2
{\displaystyle \omega \cdot 2}
ℵ
0
=
ω
{\displaystyle \aleph _{0}=\omega }
기수의 덧셈과 곱셈, 거듭제곱은 자연수에 국한시키면,
0
0
{\displaystyle 0^{0}}
0
0
{\displaystyle 0^{0}}
0
0
=
1
{\displaystyle 0^{0}=1}
κ
{\displaystyle \kappa }
λ
{\displaystyle \lambda }
μ
{\displaystyle \mu }
결합 법칙 과 교환 법칙 을 만족시킨다.
κ
+
λ
=
λ
+
κ
{\displaystyle \kappa +\lambda =\lambda +\kappa }
κ
λ
=
λ
κ
{\displaystyle \kappa \lambda =\lambda \kappa }
(
κ
+
λ
)
+
μ
=
κ
+
(
λ
+
μ
)
{\displaystyle (\kappa +\lambda )+\mu =\kappa +(\lambda +\mu )}
(
κ
λ
)
μ
=
κ
(
λ
μ
)
{\displaystyle (\kappa \lambda )\mu =\kappa (\lambda \mu )}
덧셈은 0을 항등원으로 갖고, 곱셈은 1을 항등원으로 갖는다. 0과의 곱은 0이다.
κ
+
0
=
κ
⋅
1
=
κ
{\displaystyle \kappa +0=\kappa \cdot 1=\kappa }
κ
⋅
0
=
0
{\displaystyle \kappa \cdot 0=0}
거듭 제곱은 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.
0
κ
=
{
0
κ
≠
0
1
κ
=
0
{\displaystyle 0^{\kappa }={\begin{cases}0&\kappa \neq 0\\1&\kappa =0\end{cases}}}
1
κ
=
1
{\displaystyle 1^{\kappa }=1}
2
κ
>
κ
{\displaystyle 2^{\kappa }>\kappa }
칸토어의 정리 )
κ
0
=
1
{\displaystyle \kappa ^{0}=1}
κ
1
=
κ
{\displaystyle \kappa ^{1}=\kappa }
또한, 다음과 같은 분배 법칙 이 성립한다.
κ
(
λ
+
μ
)
=
κ
λ
+
κ
μ
{\displaystyle \kappa (\lambda +\mu )=\kappa \lambda +\kappa \mu }
κ
λ
+
μ
=
κ
λ
κ
μ
{\displaystyle \kappa ^{\lambda +\mu }=\kappa ^{\lambda }\kappa ^{\mu }}
κ
λ
μ
=
(
κ
λ
)
μ
{\displaystyle \kappa ^{\lambda \mu }=(\kappa ^{\lambda })^{\mu }}
데카르트 닫힘 )
(
κ
λ
)
μ
=
κ
μ
λ
μ
{\displaystyle (\kappa \lambda )^{\mu }=\kappa ^{\mu }\lambda ^{\mu }}
기수의 덧셈과 곱셈은 증가 함수이다. 거듭제곱 역시 두 매개변수에 대해서 증가 함수이다.
κ
≤
λ
⟹
κ
+
μ
≤
λ
+
μ
{\displaystyle \kappa \leq \lambda \implies \kappa +\mu \leq \lambda +\mu }
κ
≤
λ
⟹
κ
μ
≤
λ
μ
{\displaystyle \kappa \leq \lambda \implies \kappa \mu \leq \lambda \mu }
κ
≤
λ
⟹
κ
μ
≤
λ
μ
{\displaystyle \kappa \leq \lambda \implies \kappa ^{\mu }\leq \lambda ^{\mu }}
κ
≤
λ
⟹
μ
κ
≤
μ
λ
{\displaystyle \kappa \leq \lambda \implies \mu ^{\kappa }\leq \mu ^{\lambda }}
μ
>
0
{\displaystyle \mu >0}
대우 를 취하면 다음을 얻는다.
κ
+
μ
<
λ
+
μ
⟹
κ
<
λ
{\displaystyle \kappa +\mu <\lambda +\mu \implies \kappa <\lambda }
κ
μ
<
λ
μ
⟹
κ
<
λ
{\displaystyle \kappa \mu <\lambda \mu \implies \kappa <\lambda }
κ
μ
<
λ
μ
⟹
κ
<
λ
{\displaystyle \kappa ^{\mu }<\lambda ^{\mu }\implies \kappa <\lambda }
μ
κ
<
μ
λ
⟹
κ
<
λ
{\displaystyle \mu ^{\kappa }<\mu ^{\lambda }\implies \kappa <\lambda }
μ
>
0
{\displaystyle \mu >0}
그러나 기수의 연산들은 순증가 함수가 아니다. 예를 들어,
2
<
3
{\displaystyle 2<3}
이지만
ℵ
0
+
2
=
ℵ
0
+
3
{\displaystyle \aleph _{0}+2=\aleph _{0}+3}
ℵ
0
⋅
2
=
ℵ
0
⋅
3
{\displaystyle \aleph _{0}\cdot 2=\aleph _{0}\cdot 3}
ℵ
0
2
=
ℵ
0
3
{\displaystyle \aleph _{0}^{2}=\aleph _{0}^{3}}
2
ℵ
0
=
3
ℵ
0
{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=3^{\aleph _{0}}}
이다.
선택 공리 를 가정하면, 무한 기수의 덧셈과 곱셈은 자명하다.
κ
{\displaystyle \kappa }
λ
{\displaystyle \lambda }
κ
+
λ
=
max
{
κ
,
λ
}
{\displaystyle \kappa +\lambda =\max\{\kappa ,\lambda \}}
κ
{\displaystyle \kappa }
λ
{\displaystyle \lambda }
κ
λ
=
max
{
κ
,
λ
}
{\displaystyle \kappa \lambda =\max\{\kappa ,\lambda \}}
기수의 거듭제곱에 대하여 다음이 성립한다.
κ
n
=
κ
(
ℵ
0
≤
κ
)
{\displaystyle \kappa ^{n}=\kappa \qquad (\aleph _{0}\leq \kappa )}
λ
κ
=
2
κ
(
2
≤
λ
≤
κ
≥
ℵ
0
)
{\displaystyle \lambda ^{\kappa }=2^{\kappa }\qquad (2\leq \lambda \leq \kappa \geq \aleph _{0})}
κ
n
=
κ
(
1
≤
n
<
ℵ
0
≤
κ
)
{\displaystyle \kappa ^{n}=\kappa \qquad (1\leq n<\aleph _{0}\leq \kappa )}
무한 기수의 거듭제곱은 집합론의 통상적인 공리계(선택 공리 를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론 )로는 대부분 결정할 수 없다. 예를 들어,
2
ℵ
0
{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}
연속체 가설 ). 다만, 만약 일반화 연속체 가설 을 추가로 가정한다면 무한 기수의 거듭제곱들이 완전히 결정되며, 다음과 같다.[ 2] :147
n
{\displaystyle n}
κ
{\displaystyle \kappa }
λ
{\displaystyle \lambda }
n
κ
=
κ
+
{\displaystyle n^{\kappa }=\kappa ^{+}}
κ
n
=
κ
{\displaystyle \kappa ^{n}=\kappa }
κ
λ
=
{
λ
+
κ
≤
λ
+
κ
κ
>
λ
+
,
cf
(
κ
)
>
λ
κ
+
κ
>
λ
+
,
cf
(
κ
)
≤
λ
{\displaystyle \kappa ^{\lambda }={\begin{cases}\lambda ^{+}&\kappa \leq \lambda ^{+}\\\kappa &\kappa >\lambda ^{+},\;\operatorname {cf} (\kappa )>\lambda \\\kappa ^{+}&\kappa >\lambda ^{+},\;\operatorname {cf} (\kappa )\leq \lambda \end{cases}}}
여기서
cf
{\displaystyle \operatorname {cf} }
공종도 이다.
유한 집합 의 크기인 기수를 유한 기수 , 무한 집합 의 크기인 기수는 무한 기수 또는 초한 기수 라고 한다. 유한 기수는 자연수 (음이 아닌 정수)와 같으며, 선택 공리 를 가정한다면 무한 기수는 알레프 수 와 같다. 즉, 선택 공리 를 가정하였을 때 기수의 열은
0
,
1
,
2
,
3
,
…
n
,
…
;
ℵ
0
,
ℵ
1
,
ℵ
2
,
…
,
ℵ
ω
,
ℵ
ω
+
1
,
…
{\displaystyle 0,1,2,3,\dots n,\dots ;\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\dots ,\aleph _{\omega },\aleph _{\omega +1},\dots }
이다. 알레프 수의 경우, 임의의 순서수
α
{\displaystyle \alpha }
ℵ
α
{\displaystyle \aleph _{\alpha }}
고유 모임 의 부분모임이다. 선택 공리 를 가정하지 않을 경우에는 알레프 수가 아닌 무한 기수가 있을 수도 있다.
기수는 순서수 의 경우와 비슷하게, 세 가지의 분류로 나눌 수 있다. 모든 기수
κ
{\displaystyle \kappa }
0
따름 기수 (영어 : successor cardinal ). 이는
κ
=
λ
+
{\displaystyle \kappa =\lambda ^{+}}
λ
{\displaystyle \lambda }
극한 기수 영어 : limit cardinal )는 0이 아니며 따름 기수가 아닌 기수이다.
수학에서 흔히 등장하는 기수는 다음과 같다.
모든 자연수
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle 0,1,2,\dots }
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
가산 무한 집합 의 크기다. 예를 들어, 자연수 의 집합의 크기, 정수 의 집합의 크기, 유리수 의 집합의 크기, 대수적 수 의 집합의 크기가 이 기수이다.
ℵ
1
{\displaystyle \aleph _{1}}
순서수 의 집합의 크기다.
2
ℵ
0
{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}
연속체 (連續體, 영어 : continuum )라고 하며, 실수 의 집합의 크기이자 자연수 의 집합의 멱집합 의 크기이며, 임의의 차원의 유클리드 공간 의 점의 수이다. 만약 연속체 가설 을 가정한다면
ℵ
1
{\displaystyle \aleph _{1}}
마틴 최대 공리 (영어 : Martin’s Maximum )를 가정한다면 이는
ℵ
2
{\displaystyle \aleph _{2}}
추가 공리들을 도입하면, 큰 기수 집합론 에서 핵심적인 위치를 차지한다.
↑ Klee, V. L., Jr. (1955년 9월). “The June meeting in Vancouver”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 61 (5): 433–444. doi :10.1090/S0002-9904-1955-09941-5 . ISSN 0273-0979 . ↑ Hayden, Seymour; John F. Kennison (1968). 《Zermelo–Fraenkel Set Theory》 (영어). Columbus, Ohio, U.S.: Charles E. Merrill Publishing Company.
