깎은 정이십면체

기하학에서 깎은 정이십면체는 정이십면체의 모든 꼭짓점을 깎아내어 형성되는 다면체다. 일반적으로, 깎은 정이십면체는 일반적으로 흰색 육각형과 검은색 오각형 패턴으로 이루어진 축구공을 떠올리면 이해하기 쉽다. 이 구조는 버크민스터 풀러(Buckminster Fuller)가 설계한 측지돔(geodesic dome) 구조에서 자주 사용된다. 깎은 정이십면체는 아르키메데스의 다면체(Archimedean solid) 중 하나이자 골드버그 다면체(Goldberg polyhedron)의 예시다.

깎은 정이십면체
종류	아르키메데스의 다면체, 골드버그 다면체
면	32
모서리	90
꼭짓점	60
대칭군	이십면체 대칭성
쌍대다면체	펜타키스 십이면체
전개도

구조

깎은 정이십면체는 정이십면체의 모든 꼭짓점을 깎아내어 만들 수 있다. 이 과정에서 각 변의 1/3 지점에 있는 12개의 꼭짓점이 12개의 정오각형 면을 형성하며, 원래의 20개의 삼각형 면은 정육각형으로 변환된다. 결과적으로, 이 다면체는 32개의 면, 90개의 변, 그리고 60개의 꼭짓점을 가지게 된다.

골드버그 다면체는 12개의 오각형 면과 10개의 정육각형 면을 가진 다면체를 의미한다. 골드버그 다면체에는 세 가지 종류가 있으며, 이 중 하나는 모든 꼭짓점을 반복적으로 깎아내어 형성된다. 깎은 정이십면체는 그 중 하나에 포함되며 $\mathrm {GP(1,1)}$로 표기한다.

특성

한 모서리의 길이가 a인 깎은 정이십면체의 겉넓이 $A$와 부피 $V$는 다음과 같다.

${\begin{aligned}A&=3\left(10{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 72.607253a^{2}\\V&={\frac {1}{4}}(125+43{\sqrt {5}})a^{3}\approx 55.287731a^{3}.\\\end{aligned}}$

다면체의 구형성(sphericity) $\mathrm {\Psi }$는 다면체가 구와 얼마나 유사한지를 나타낸다. 같은 부피를 가지는 구의 표면적과 다면체의 표면적의 비율로 정의된다. 이 값은 0과 1 사이의 값이다. 깎은 정이십면체의 경우, 그 값은 다음과 같다.$$\Psi ={\frac {6\pi ^{1/2}V}{A^{3/2}}}\approx 0.9504.$$

깎은 정이십면체에서 인접한 육각형 면 사이의 이면각(dihedral angle)은 약 138.18°이며, 오각형과 육각형 사이의 이면각은 약 142.6°이다.

깎은 정이십면체는 아르키메데스의 다면체로서, 대칭성이 높고 두 가지 이상의 다른 정다각형 면이 꼭짓점에서 만나는 다면체이다. 이 다면체는 정이십면체와 같은 이십면체 대칭성을 가지며, 꼭짓점 전이성(vertex-transitivity)도 가지고 있다. 모든 꼭짓점에서 만나는 다각형 면은 하나의 오각형과 두 개의 육각형이며, 깎은 정이십면체의 꼭짓점 도형(vertex figure)은 $\mathrm {5\cdot 6^{2}}$이다. 깎은 정이십면체의 쌍대 다면체(dual polyhedron)는 카탈랑의 다면체(Catalan solid)인 펜타키스 십이면체(pentakis dodecahedron)로, 깎은 정이십면체와 동일한 대칭성을 가진다.

깎은 정이십면체 그래프

슈타이니츠의 정리(Steinitz's theorem)에 따르면, 깎은 정이십면체의 골격은 다른 볼록 다면체의 골격과 같이 다면체 그래프(polyhedral graph)로 표현될 수 있다. 이 그래프는 평면 그래프(엣지가 교차하지 않고 그릴 수 있는 그래프)이며, 두 정점을 제거해도 연결 상태가 유지되는 그래프이다. 이 그래프는 깎은 정이십면체 그래프(truncated icosahedral graph)로 알려져 있으며, 60개의 꼭짓점과 90개의 변을 가진다. 이 그래프는 또한 아르키메데스 그래프(Archimedean graph)로, 아르키메데스의 다면체 중 하나와 유사하다. 이와 더불어, 이 그래프는 각 꼭짓점에 정확히 세 개의 변이 연결되는 큐빅 그래프(cubic graph)이다.

활용

축구와 팀 핸드볼에서 사용하는 공은 일상생활에서 깎은 정이십면체와 유사한 구형 다면체의 가장 잘 알려진 예일 것이다. 이 공은 구형에 가까운 검은색 오각형과 흰색 육각형 패턴으로 이루어져 있다.

The truncated icosahedron (left) compared with an association football

측지식(geodesic) 돔은 주로 이 기하학의 삼각형 면 분할에 기반을 두고 있으며, 전 세계에서 볼 수 있는 예시로는 버크민스터 풀러가 대중화한 구조가 있다. 예를 들어, 1985년에 발견된 풀러렌(fullerene)의 한 형태인 버크민스터 풀러렌(Buckminsterfullerene)은 깎은 정이십면체 모양의 측지식(geodesic) 돔 구조를 가지는 탄소 원소의 동소체이다. 다른 공학 및 과학 응용 분야에서도 이 모양은 폭발성 충격파를 집중시키기 위해 사용된 렌즈의 구성에서 발견되며, 이는 가젯(Gadget)과 팻 맨(Fat Man) 원자폭탄의 기폭 장치에 사용된다. 또한, 이 구조는 클라트린(clathrin) 단백질에서도 발견된다

The buckminsterfullerene molecule

같이 보기

• 풀러렌