꼬임 부분군

이 문서는 대수학에서 유한 차수의 원소들의 군(torsion group)에 관한 것입니다. 위상수학에서의 꼬임군(braid group)에 대해서는 꼬임군 (위상수학) 문서를 참고하십시오.

군론에서, 아벨 군의 꼬임 부분군(영어: torsion subgroup)은 양의 정수를 곱해서 0으로 만들 수 있는 군 원소들의 부분군이다.

정의

$G$가 아벨 군이라고 하자. $G$의 꼬임 부분군 $G_{T}$는 다음과 같다.

$G_{T}=\{g\in G|\exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon ng=0\}$.

이는 군의 연산에 대하여 닫혀 있음을 보일 수 있다. (다만, $G$가 아벨 군이 아닌 일반적인 군일 경우 이는 부분군을 이루지 않는다.)

성질

모든 유한 생성 아벨 군은 꼬임 부분군과 꼬임이 없는 부분군의 직합으로 나타낼 수 있다. (다만, 꼬임 부분군은 유일하지만 꼬임이 없는 부분군은 유일하지 않을 수 있다. 또한, 무한 생성 아벨 군의 경우 이와 같은 분해가 성립하지 않을 수 있다.)

유한 아벨 군의 경우 꼬임 부분군은 군 전체이다. 반면 $\mathbb {Z} ^{n}$과 같은 경우 꼬임 부분군은 자명군이다.