뇌터 환

환론에서 뇌터 환(Noether環, 영어: Noetherian ring)은 아이디얼들이 오름 사슬 조건을 만족하는 환이다. 대략, 체 위의 유한 개의 변수에 대한 다항식환처럼, "지나치게 크지 않은" 환을 뜻한다.

정의

뇌터 가군

범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$ 의 부분 대상들의 부분 순서 집합 $\operatorname {Sub} (X)$ 가 오름 사슬 조건을 만족시킨다면, $X$ 를 뇌터 대상(영어: Noetherian object)이라고 한다.^[1]^:146

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R}M$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 왼쪽 뇌터 가군(영어: left Noetherian module)이라고 한다.

$M$ 은 왼쪽 가군 범주 $_{R}\operatorname {Mod}$ 속의 뇌터 대상이다. 즉, $M$ 의 부분 가군들의 격자 $\operatorname {Sub} (M)$ 가 오름 사슬 조건을 만족시킨다.^[2]^:20
$M$ 의 모든 부분 가군이 유한 생성 가군이다. 즉, 임의의 부분 가군 $N\subseteq M$ 에 대하여 $N=Rm_{1}+\cdots +Rm_{k}$ 인 $m_{1},\dots ,m_{k}\in M$ 이 존재한다.^[2]^{:20, (1.18)}

오른쪽 뇌터 가군(영어: right Noetherian module) 역시 마찬가지 조건을 만족시키는 오른쪽 가군으로 정의할 수 있다.

가환환 위의 가군의 경우, 왼쪽·오른쪽 가군의 구분이 없으므로, 두 개념이 서로 일치한다.

뇌터 환

환 $R$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 왼쪽 뇌터 환(영어: left Noetherian ring)이라고 한다.

$_{R}R$ 는 뇌터 왼쪽 가군이다. (즉, 왼쪽 아이디얼들의 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건을 만족시킨다. 또는, 모든 왼쪽 아이디얼은 유한 생성 아이디얼이다.)
모든 $R$ -유한 생성 왼쪽 가군은 뇌터 가군이다.^[2]^{:21, Proposition 1.21}
$R$ -왼쪽 아이디얼들로 구성된, 공집합이 아닌 임의의 집합은 (부분 집합 관계에 대하여) 적어도 하나 이상의 극대 원소를 갖는다.^[2]^:19
(배스-파프 정리 영어: Bass–Papp theorem) $R$ 의 단사 왼쪽 가군들의 귀납적 극한은 단사 왼쪽 가군이다.^[3]^{:80–81, Theorem 3.46}
(배스-파프 정리) $R$ 의 단사 왼쪽 가군들의 임의의 (무한 또는 유한) 직합은 단사 왼쪽 가군이다.^[3]^{:80–81, Theorem 3.46}
(배스-파프 정리) $R$ 의 가산 개의 단사 왼쪽 가군들의 직합은 단사 왼쪽 가군이다.^[3]^{:80–81, Theorem 3.46}

마찬가지로 오른쪽 뇌터 환(영어: right Noetherian ring)을 정의할 수 있다. 왼쪽 뇌터 환이자 오른쪽 뇌터 환인 환을 (양쪽) 뇌터 환(영어: (two-sided) Noetherian ring)이라고 한다.

가환환의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 뇌터 가환환(영어: Noetherian commutative ring)이라고 한다.

왼쪽 뇌터 환이다.
오른쪽 뇌터 환이다.
양쪽 뇌터 환이다.
그 스펙트럼 $\operatorname {Spec} R$ 는 뇌터 스킴이다.^[4]^{:83, Proposition II.3.2}
그 스펙트럼 $\operatorname {Spec} R$ 는 국소 뇌터 스킴이다.
(코언 정리 영어: Cohen’s theorem) 모든 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R$ 이 유한 생성 아이디얼이다.^[5]

뇌터 스킴

스킴 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 국소 뇌터 스킴(局所-, 영어: locally Noetherian scheme)이라고 한다.

뇌터 가환환들의 스펙트럼들로 구성된 열린 덮개가 존재한다.^[4]^:83
모든 아핀 열린집합은 뇌터 가환환의 스펙트럼이다.^[4]^{:83, Proposition II.3.2}^[6]^{:58, Exercise 2.3.16}

스킴 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 뇌터 스킴(영어: Noetherian scheme)이라고 한다.

뇌터 가환환들의 스펙트럼으로 구성된 유한 열린 덮개가 존재한다.^[4]^:83
국소 뇌터 스킴이며, (위상 공간으로서) 콤팩트 공간이다.

성질

뇌터 가군의 성질

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R}M$ 및 그 부분 가군 $N\subseteq M$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[2]^{:20, (1.20)}

$M$ 이 뇌터 가군이다.
$N$ 과 $M/N$ 둘 다 뇌터 가군이다.

(아르틴 가군에 대해서도 유사한 조건이 성립한다.)

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $M$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[2]^{:20, (1.19)}

$M$ 은 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.
$M$ 은 유한한 길이의 합성열을 갖는다. 즉, $M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{k}=M$ 이 존재하며, $M_{i}/M_{i-1}$ 은 모두 단순 가군이다.

특히, 유한 집합인 가군은 항상 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.

뇌터 환의 성질

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

유한환 ⊊ 왼쪽 아르틴 환 ⊊ 왼쪽 뇌터 환

유한환 ⊊ 오른쪽 아르틴 환 ⊊ 오른쪽 뇌터 환

만약 $R$ 가 왼쪽 뇌터 환이라면, 다음 환들 역시 왼쪽 뇌터 환이다.

(힐베르트 기저 정리) 유한 개의 변수에 대한 다항식환 $R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}]$
임의의 양쪽 아이디얼 ${\mathfrak {a}}\vartriangleleft R$ 에 대하여, 몫환 $R/{\mathfrak {a}}$

만약 $R$ 가 뇌터 가환환이라면, 다음 가환환들 역시 뇌터 가환환이다.

형식적 멱급수환 $R[[x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}]]$
임의의 곱셈 모노이드 $S\subseteq R$ 에 대하여, 국소화 $S^{-1}R$

환 $S$ 의 부분환 $R\subseteq S$ 가 주어졌으며, $R$ 가 가환환이며, $_{R}S$ 가 $R$ -유한 생성 왼쪽 가군이라고 하자. 그렇다면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$S$ 가 왼쪽 뇌터 환이다.
$R$ 가 뇌터 환이다.

그러나 만약 $R$ 가 가환환이 아니라면 이는 성립하지 않을 수 있다.

뇌터 가환환의 경우, 크룰 높이 정리가 성립한다. 특히, 뇌터 가환환의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합은 내림 사슬 조건을 만족시킨다. (그러나 이는 비가환 왼쪽 뇌터 환에 대하여 성립하지 않을 수 있다.)

뇌터 스킴의 성질

국소 뇌터 스킴의 줄기는 모두 뇌터 국소환이다.^[6]^{:55, Proposition 2.3.46(a)} (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.) 국소 뇌터 스킴의 구조층은 (스스로 위의 가군층으로서) 연접층이다. 국소 뇌터 스킴은 항상 준분리 스킴이다 (즉, 국소 뇌터 스킴 $X$ 에 대하여, 유일한 스킴 사상 $X\to \operatorname {Spec} \mathbb {Z}$ 는 준분리 사상이다).

뇌터 스킴은 뇌터 공간이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

$X$ 가 국소 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 국소 뇌터 스킴이다.

$X$ 위의 국소 유한형 스킴 $Y\to X$
$X$ 의 닫힌 부분 스킴
$X$ 의 열린 부분 스킴

$X$ 가 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 뇌터 스킴이다.

$X$ 위의 유한형 스킴 $Y\to X$ ^[6]^{:96, Exercise 3.2.1}
$X$ 의 닫힌 부분 스킴^[6]^{:55, Proposition 2.3.46(a)}
$X$ 의 열린 부분 스킴^[6]^{:55, Proposition 2.3.46(a)}

특히, 체 위의 대수다양체는 뇌터 스킴이다.

예

모든 데데킨트 정역은 뇌터 환이다. (따라서, 모든 주 아이디얼 정역, 유클리드 정역, 체, 이산 값매김환은 데데킨트 정역이므로 뇌터 가환환이다.) 모든 정칙 국소환은 뇌터 환이다.

반면, 뇌터 환이 아닌 유일 인수 분해 정역이나 뇌터 환이 아닌 값매김환이 존재한다.

뇌터 벡터 공간

체 $K$ 위의 가군(벡터 공간)의 경우 다음 세 조건이 서로 동치이다.

뇌터 가군이다.
아르틴 가군이다.
유한 차원 벡터 공간이다.

뇌터 군환

임의의 군 $G$ 및 환 $R$ 에 대하여, 군환 $R[G]$ 를 생각하자. 이는 환을 이루며, 만약 $R$ 가 가환환이라면 $R$ -결합 대수를 이룬다. 만약 $R$ 가 가환환이라면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$R[G]$ 는 왼쪽 뇌터 환이다.
$R[G]$ 는 오른쪽 뇌터 환이다.

이는 가환환 위의 군환의 경우, 왼쪽 아이디얼들과 오른쪽 아이디얼들이 $R$ -결합 대수 준동형

R[G]\to R[G]^{\operatorname {op} }

g\mapsto g^{-1}\qquad (\forall g\in G)

에 따라 일대일 대응하기 때문이다. 임의의 군 $G$ 및 환 $R$ 가 주어졌다고 하자. 만약 $R[G]$ 가 왼쪽·오른쪽·양쪽 뇌터 환이라면, $R$ 는 왼쪽·오른쪽·양쪽 뇌터 환이며, $G$ 는 뇌터 군이다. 반대로, 만약 $R$ 가 뇌터 가환환이며, $G$ 가 뇌터 가해군의 유한군에 의한 확대라면, $R[G]$ 는 양쪽 뇌터 환이다. 일반적인 뇌터 환과 뇌터 군 위의 군환은 뇌터 환이 아닐 수 있다. 사실, 다음 두 조건을 만족시키는 군 $G$ 가 존재한다.^[7]^{:423, Theorem 38.1}

$G$ 는 뇌터 군이다.
임의의 뇌터 가환환 $R$ 에 대하여, $R[G]$ 는 양쪽 뇌터 환이 아니다.

증명 (뇌터 군환의 환과 군의 뇌터성):

$R$ 가 환, $G$ 가 군이며, $R[G]$ 가 그 군환이라고 하자. 엄격하게 상승하는 $R$ 의 왼쪽 아이디얼들의 열

{\mathfrak {a}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {a}}_{1}\subsetneq {\mathfrak {a}}_{2}\subsetneq \cdots

이 주어졌을 때,

{\mathfrak {a}}_{0}[G]\subsetneq {\mathfrak {a}}_{1}[G]\subsetneq {\mathfrak {a}}_{2}[G]\subsetneq \cdots

는 엄격하게 상승하는 $R[G]$ 의 왼쪽 아이디얼들의 열이다. 만약

H_{0}\subsetneq H_{1}\subsetneq H_{2}\subsetneq \cdots

가 엄격하게 상승하는 $G$ 의 부분군들의 열이라면,

{\mathfrak {b}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {b}}_{1}\subsetneq {\mathfrak {b}}_{2}\subsetneq \cdots

{\mathfrak {b}}_{i}=\left\{\sum _{g\in G}r_{g}g\in R[G]\colon \forall gH_{i}\in G/H_{i}\colon \sum _{h\in gH_{i}}r_{h}=0\right\}

는 엄격하게 상승하는 $R[G]$ 의 왼쪽 아이디얼들의 열이다. 따라서, 만약 $R[G]$ 가 왼쪽 뇌터 환이라면, $R$ 는 엄격하게 상승하는 왼쪽 아이디얼들의 열을 갖지 않으며, $G$ 는 엄격하게 상승하는 부분군들의 열을 갖지 않는다. 즉, $R$ 는 왼쪽 뇌터 환이며, $G$ 는 뇌터 군이다.

오른쪽 뇌터 환이 아닌 왼쪽 뇌터 환

무한 차수의 체의 확대

L/K

\dim _{K}L\geq \aleph _{0}

가 주어졌다고 하자. (예를 들어, $L/K=\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ 를 잡을 수 있다.) 그렇다면 삼각환

{\begin{pmatrix}L&L\\0&K\end{pmatrix}}=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}\colon a,b\in L,\;c\in K\right\}

를 생각하자. 이는 왼쪽 뇌터 환이자 왼쪽 아르틴 환이지만, 오른쪽 뇌터 환이나 오른쪽 아르틴 환이 아니다.^[2]^{:22, Corollary 1.24}

뇌터 환의 부분환인 비뇌터 환

$D$ 가 뇌터 환이 아닌 임의의 정역이라고 하자. 그렇다면, 그 분수체 $\operatorname {Frac} (D)$ 는 (체이므로) 뇌터 환이며, $D$ 는 그 부분환이다.

삼각환 $R=({\begin{smallmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{smallmatrix}})$ 은 오른쪽 뇌터 환이며, 양쪽 뇌터 환 $S=({\begin{smallmatrix}\mathbb {Q} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{smallmatrix}})$ 의 부분환이지만, 왼쪽 뇌터 환이 아니다.^[2]^{:20, Corollary 1.23})

뇌터 조건의 비국소성

임의의 무한 기수 $\kappa \geq \aleph _{0}$ 에 대한 직접곱 $R=\mathbb {F} _{2}^{\kappa }$ 을 생각하자. 이는 뇌터 환이 아니다. 반면, 임의의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R$ 에서의 국소화 $R_{\mathfrak {p}}\cong \mathbb {F} _{2}$ 는 뇌터 환이다.

역사

에미 뇌터는 1921년 논문^[8]에서 환의 아이디얼의 오름 사슬 조건을 분석하였다. 훗날 뇌터를 기념하여 이 환들이 "뇌터 환"으로 불리게 되었다.

같이 보기

각주

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외부 링크

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