완전 유계 공간

해석학에서 완전 유계 공간(完全有界空間, 영어: totally bounded space) 또는 프리콤팩트 공간(영어: precompact space)은 임의적으로 "작은" 집합들로 구성된 유한 덮개를 갖는 공간이다. 여기서 임의적으로 "작은" 집합의 개념은 거리 공간 구조 또는 보다 일반적으로 균등 공간 구조로 정의된다.

정의

균등 공간을 통한 정의

균등 공간 $(X,{\mathcal {E}})$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 균등 공간을 완전 유계 공간이라고 한다.

• 임의의 측근 $E\in {\mathcal {E}}$에 대하여, $X_{1}^{2},X_{2}^{2},\dots ,X_{n}^{2}\subseteq E$인 유한 $X$-덮개 $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\subseteq X$, $\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}X_{i}=X$가 존재한다.
• $(X,{\mathcal {E}})$의 완비화는 콤팩트 공간이다.
• $X$ 위의 모든 필터는 코시 부분 필터를 갖는다.
• $X$ 위의 모든 극대 필터는 코시 필터이다.

(이 조건들이 동치임을 보이는 것은 선택 공리를 필요로 한다.)

근접 공간을 통한 정의

이 단락의 주제는 접근 공간이 아닙니다.

집합 $X$ 위의 근접 구조(영어: proximity structure, p-structure)는 다음 조건들을 만족시키는, 멱집합 위의 이항 관계 $\delta \subseteq {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)$이다.

• $\forall A\subseteq X\colon \varnothing \nsim _{\delta }A$
• $\forall x\in X\colon \{x\}\sim _{\delta }\{x\}$
• $\forall A,B\subseteq X\colon A\sim _{\delta }B\implies B\sim _{\delta }A$
• $\forall A,B,C\subseteq X\colon A\sim _{\delta }B\subseteq C\implies A\sim _{\delta }C$
• $\forall A,B,C\subseteq X\colon A\sim _{\delta }(B\cup C)\implies A\sim _{\delta }B\lor A\sim _{\delta }C$
• $\forall A,B\subseteq X\colon A\nsim _{\delta }X\setminus B\implies (\exists C\subseteq X\colon A\nsim _{\delta }X\setminus C\land C\nsim _{\delta }X\setminus B)$

근접 공간(영어: proximity space, p-space)은 근접 구조를 갖춘 집합이다.

두 근접 공간 $(X,\delta _{X})$와 $(Y,\delta _{Y})$ 사이의 근접 함수(영어: proximity map, p-map)는 다음 조건을 만족시키는 함수 $f\colon X\to Y$이다.

• 임의의 $A,B\subseteq X$에 대하여, 만약 $A\sim _{\delta _{X}}B$라면, $f(A)\sim _{\delta _{Y}}f(B)$이다.

다음과 같은 3개의 범주를 생각하자.

• $\operatorname {Top}$: 위상 공간과 연속 함수의 범주
• $\operatorname {Prox}$: 근접 공간과 근접 함수의 범주. 특히, 근접 함수의 합성은 근접 함수이다.
• $\operatorname {Unif}$: 균등 공간과 균등 연속 함수의 범주

근접 공간 $(X,\delta )$ 위에 다음과 같은 폐포 또는 근방 필터를 정의하여 위상 공간으로 만들 수 있다.

$\operatorname {cl} A=\{x\in X\colon \{x\}\sim _{\delta }A\}$

${\mathcal {N}}_{x}=\{N\subseteq X\colon \{x\}\nsim _{\delta }X\setminus N\}$

이 경우, 모든 근접 함수는 연속 함수이다. 즉, 이는 충실한 함자

$F\colon \operatorname {Prox} \to \operatorname {Top}$

를 이룬다.

임의의 균등 공간 $(X,{\mathcal {E}})$가 주어졌을 때, ${\mathcal {P}}(X)$ 위에 다음과 같은 이항 관계 $\delta$를 정의하자.

$A\sim _{\delta }B\iff \forall E\in {\mathcal {E}}\exists a\in A\exists b\in B\colon a\sim _{E}b$

그렇다면, $(X,\delta )$는 근접 공간을 이루며, 그 근접 위상은 균등 위상과 일치한다. 또한, 모든 균등 연속 함수는 근접 함수이다. 즉, 이는 충실한 함자

$G\colon \operatorname {Unif} \to \operatorname {Prox}$

를 정의하며, $GF$는 균등 공간의 범주와 위상 공간의 범주 사이의 충실한 함자와 일치한다. 근접 공간 또는 균등 공간의 범주론적 곱 위의 위상은 곱위상과 일치하지만, 균등 공간의 곱 위의 접근 구조는 일반적으로 곱 근접 구조가 아니다. 즉, $F$와 $GF$는 곱을 보존하지만, $G$는 아니다. 특히, $G$는 왼쪽 수반 함자를 갖지 않는다.

반대로, 임의의 근접 공간 $(X,\delta )$에 대하여, 이 근접 구조를 유도하는 균등 구조가 존재한다. 즉, 근접 공간은 균등 공간들의 근접 동형에 따른 동치류로 여길 수 있다. 또한 임의의 근접 공간 $(X,\delta )$에 대하여, 이 근접 구조를 유도하는 균등 구조 가운데 가장 엉성한 균등 구조가 존재한다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 기본계에 의하여 정의된다.

${\mathcal {B}}=\left\{\bigcup _{i=1}^{n}D_{i}\times D_{i}\colon n\in \mathbb {N} ,\;\mathbb {C} _{1},\ldots ,C_{n},D_{1},\ldots ,D_{n}\subseteq X,\;X=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i},\;C_{i}\nsim _{\delta }X\setminus D_{i}\right\}$

균등 공간에서 위와 같은 꼴의 균등 공간으로 가는 모든 접근 함수는 균등 연속 함수이다. 따라서, 이는 다음과 같은 충실충만한 매장 함자를 정의하며, 또한 이는 $G$의 오른쪽 수반 함자를 이룬다.

$H\colon \operatorname {Prox} \to \operatorname {Unif}$

$G\dashv H$

이에 따라, $\operatorname {Prox}$는 $\operatorname {Unif}$의 어떤 충만한 부분 범주 $\operatorname {TBUnif}$와 동형이다. 또한, $\operatorname {TBUnif}$는 $\operatorname {Unif}$의 반사 부분 범주를 이루며, 또한 전반사 부분 범주이자 단반사 부분 범주이다. $\operatorname {TBUnif}$의 대상을 완전 유계 공간이라고 한다. 즉, 균등 공간 $(X,{\mathcal {E}})$에 대하여, 만약 ${\mathcal {E}}$가 그와 같은 접근 구조를 유도하는 균등 구조들 가운데 가장 엉성하다면, $(X,{\mathcal {E}})$를 완전 유계 공간이라고 한다. 이 정의는 균등 공간을 통한 정의와 동치이다.

성질

완전 유계성은 완비화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 균등 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 완전 유계 공간이다.
• $X$의 완비화 ${\bar {X}}$는 완전 유계 공간이다.

균등 공간에 대한 하이네-보렐 정리에 따르면, 임의의 균등 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 콤팩트 공간이다.
• 완비 균등 공간이자 완전 유계 공간이다.

완전 유계 거리 공간

거리 공간은 자연스럽게 균등 공간 구조를 갖는다. 거리 공간 $(X,d)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^:275

• 완전 유계 공간이다. 즉, 임의의 양의 실수 $\epsilon >0$에 대하여, 반지름이 $\epsilon$인 열린 공들로 구성된 유한 $X$-덮개가 존재한다.
• $X$의 모든 점렬은 코시 부분 점렬을 갖는다.

즉, (코시) 필터 대신 (코시) 점렬을 사용할 수 있다.

모든 완전 유계 거리 공간은 유계 공간이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

예

유클리드 공간의 부분 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 유계 공간이다.
• 완전 유계 공간이다.

완전 유계 공간이 아닌 유계 공간

임의의 바나흐 공간의 단위 초구는 유계 공간이다. 그러나 임의의 바나흐 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 단위 초구가 완전 유계 공간이다.
• 유한 차원 바나흐 공간이다.

모든 (유한 또는 무한) 이산 거리 공간은 유계 공간이다. 그러나 임의의 이산 거리 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 완전 유계 공간이다.
• 유한 집합이다.

같이 보기

• 콤팩트 공간
• 국소 콤팩트 공간
• 직교 콤팩트 공간
• 파라콤팩트 공간
• 상대 콤팩트 집합

외부 링크

• “Totally-bounded space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Totally bounded space”. 《nLab》 (영어). 
• “Precompact space”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: totally bounded”. 《ProofWiki》 (영어). 2012년 2월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 13일에 확인함. 
• “Equivalence of definitions of total boundedness”. 《ProofWiki》 (영어). 2011년 6월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 13일에 확인함. 
• “Totally bounded metric space is bounded”. 《ProofWiki》 (영어). 2011년 6월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 13일에 확인함. 
• “Totally bounded metric space”. 《Topospaces》 (영어).