유한 집합

수학에서 유한 집합(有限集合, 영어: finite set)이란 집합의 원소의 개수가 한정되어 원소의 개수가 무한개가 아닌 집합을 의미한다.

정의

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 집합 $S$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 유한 집합이라고 한다.

• $S$는 하나 이하의 원소를 갖거나, 아니면 $S$와 $S^{2}$ 사이에 전단사 함수가 존재하지 않는다.
• $S$와 부분 집합 $T\subset S$ 사이에 전단사 함수가 존재한다면, $S=T$이다.
• 모든 단사 함수 $S\to S$는 전단사 함수이다.
• 모든 전사 함수 $S\to S$는 전단사 함수이다.
• 단사 함수 $\mathbb {N} \to S$가 존재하지 않는다.
• 전사 함수 $S\to \mathbb {N}$이 존재하지 않는다.
• $S$의 집합의 크기가 자연수이다. 즉, $|S|\in \mathbb {N} =\{0,1,2,3,\dots \}$이다.
• $S$의 멱집합 격자 $({\mathcal {P}}(S),\subseteq )$는 오름 사슬 조건을 만족시킨다.
• $S$의 멱집합 격자 $({\mathcal {P}}(S),\subseteq )$는 내림 사슬 조건을 만족시킨다.

만약 선택 공리를 가정하지 않으면, 이 조건들 가운데 일부는 동치이지 않을 수 있다.

예

공집합은 유한 집합이다. 모든 자연수는 (폰 노이만 정의에 따르면) 유한 집합이다.

같이 보기

• 무한 집합

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Finite set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Finite set”. 《nLab》 (영어).