접선

접선(接線, 문화어: 닿이선(--線), 영어: tangent)은 곡선L의 두점 A와 B로 정의되는 할선 AB에서 점 B가 곡선을 따라 점 A에 한없이 가까워 질때, 이 새로운 직선을 곡선L의 A에서 만나는 접선이라 한다.^[1]

보통 접선은 미분을 이용해 찾는다.

접선과 원의 선분들

원에서 접선 ${\overline {DT}}$ 는 직경 또는 중심을 지나는 현 ${\overline {AB}}$ 의 연장선 상의 할선 ${\overline {AD}}$ 와 한 점 $D$ 에서 만날때, ${\overline {CT}}$ 반지름과 함께 삼각함수의 탄젠트를 구성한다.^[2]

공통내접선

둘 이상의 원이나 곡선에서 공통적인 접선이 있고, 두 도형이 접선을 끼고 서로 반대 방향에 있을 경우, 그 접선을 공통내접선이라 한다.

예시

원 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 위의 점 $(x_{1},y_{1})$ 에서의 접선의 방정식은 $x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$
원 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 의 기울기가 $m$ 인 접선의 방정식은 $y=mx\pm r{\sqrt {m^{2}+1}}$
타원 위의 점 $(x_{1},y_{1})$ 에서의 접선의 방정식은 ${\frac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}y}{b^{2}}}=1$
타원 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ 의 기울기가 $m$ 인 접선의 방정식은 $y=mx\pm {\sqrt {a^{2}m^{2}+b^{2}}}$
쌍곡선 위의 점 $(x_{1},y_{1})$ 에서의 접선의 방정식은 ${\frac {x_{1}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{1}y}{b^{2}}}=1$
쌍곡선 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ 의 기울기가 $m$ 인 접선의 방정식은 $y=mx\pm {\sqrt {a^{2}m^{2}-b^{2}}}$
2차원 유클리드 공간 내의 임의의 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,b)$ 에서의 접선의 방정식은 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$
(단, $f'(a)$ 는 곡선 $y=f(x)$ 의 점 $(a,b)$ 에서의 미분계수)